Integrali per sostituzione

Renè Magritte

Gli integrali per sostituzione utilizzano il cambio o sostituzione di variabile per trovarsi in una situazione di più semplice risoluzione.

Tale metodo può sempre essere applicato a qualunque tipo di integrale sempre che tale sostituzione possa poi portare ad un integrale facilmente sviluppabile.

La cosa fondamentale è la seguente:

$f(x)=f(t)$

e quindi

$f^{'}(x)dx=f^{'}(t)dt$

$dx=\cfrac{f^{'}(t)}{f^{'}(x)}dt$

Ad esempio tale metodo può essere applicato al seguente integrale:

$\int 2x\left ( x^{2}+1 \right )^{2}dx$

pongo $x^{2}+1=t$

effettuo la derivata a destra e a sinistra

$2x\cdot dx=1\cdot dt$

$dx=\cfrac{1}{2x}dt$

Adesso sostituisco nell’integrale che diventa:

$\int 2x\left ( t \right )^{2}\cfrac{1}{2x}dt=\int t^{2}dt=\cfrac{t^{3}}{3}+k$

ma $t=x^{2}+1$

ed il risultato diventa:

$\int 2x\left ( x^{2}+1 \right )^{2}dx=\cfrac{\left ( x^{2}+1 \right )^{3}}{3}+k$

Sostituzioni più comuni:

Integrale	Sostituzione
$\int \sqrt{x}dx$	$\sqrt{x}=t$
$\int f^{'}(x)\cdot f(x)dx$	$t=f(x)$
$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}\pm a^{2}}}dx$	$t=x+\sqrt{x^{2}\pm a^{2}}$
$\int \sqrt{x^{2}\pm a^{2}}\cdot dx$	$t=x+\sqrt{x^{2}\pm a^{2}}$

Integrali per sostituzione

Lascia un commento Annulla risposta

Registrazione

Lingua:

Dona

Categorie

Articoli recenti

Commenti recenti

Meta

Whymatematica