Maturità 2019: primo quesito

Una data funzione è esprimibile nella forma f(x)=\cfrac{P(x)}{x^2+d} dove d\in \mathbb{R} e p(x) è un polinomio. Il grafico di f interseca l’asse x nei punti di ascisse 0 e \cfrac{12}{5} ed ha come asintoti le rette di equazioni x=3 , x=-3 e y=5. Determinare i punti di massimo e di minimo relativi della funzione f.

Prerequisiti

  • conoscere il significato degli asintoti in relazione alla forma di una funzione
  • conoscere cosa rappresentano i punti che annullano il numeratore
  • conoscere il concetto di derivata per il calcolo dei punti di massimo e di minimo

Sviluppo

Essendoci due asintoti verticali il denominatore si annullerà in 3 e -3.

Si può scrivere nella forma: x^2 -9.

Il numeratore si annulla in 0 e \cfrac{12}{5} per cui può essere scritto come: x\cdot \left ( x-\cfrac{12}{5} \right ); si deve inserire l’ulteriore condizione che è presente un asintoto orizzontale in y=5.

Per avere tale asintoto è sufficiente moltiplicare il numeratore per 5 che risulterà quindi:

5x\cdot \left ( x-\cfrac{12}{5} \right ).

Ricapitolando le affermazioni precedenti la funzione, affinché soddisfi i vincoli dati si può scrivere nella forma:

f(x)=\cfrac{5x^2-12x}{x^2-9}.

Adesso di calcoli la sua derivata prima per la determinazione dei massimi e dei minimi:

f'(x)=\cfrac{(10x-12)(x^2-9)-2x(5x^2-12x)}{\left ( x^2-9 \right )^{2}}=\cfrac{12x^2-90x+108}{\left ( x^2-9 \right )^{2}}

I valori in cui si annulla il numeratore sono 6 e \cfrac{3}{2}.

Studiando il segno della derivata prima si ha che è positiva per x<\cfrac{3}{2} e x>6 per cui il massimo della funzione si ha in x=\cfrac{3}{2} ed il massimo in x=6.

Sostituendo tali valori nella funzione di partenza si avrà il punto di massimo:

M\left ( \cfrac{3}{2};1 \right )

ed il punto di minimo:

m\left ( 6;4 \right )

Il grafico della funzione, anche se non richiesto risulta:

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