NSA – la derivata – Significato geometrico – Parabola

Umberto Boccioni

Tra gli studenti, quando si afferma che si stanno studiando le derivate sembra quasi che si sia arrivato all’empireo della matematica… con tutti i rischi annessi e connessi: vertigine, onnipotenza e perché no, un senso di grande frustrazione per chi non le capisce.

Il mio scopo è quello di trasmettere il motivo per il quale è stata introdotta ed utilizzata.

Si sappia che è stata introdotta per la prima volta in India nel XII secolo per poi lentamente espandersi anche nel mondo occidentale verso il XVI secolo.

Ma cos’è la derivata?

LA DERIVATA MI INDICA DI QUANTO E’ INCLINATA LA RETTA TANGENTE AD UNA QUALUNQUE CURVA

Tale definizione deve sempre essere presente e permette di capire perchè è fondamentale il suo utilizzo nello studio di funzione.

Prendo la seguente curva:

y=x^{2}.

E’ una parabola con vertice coincidente con l’origine.

Si prenda adesso il punto di coordinate (1+dx; 1+dy) che appartiene alla parabola: la prima coordinata mi indica il valore sull’asse delle ascisse, la seconda il valore sull’asse delle ordinate.

dx significa un valore molto piccolo vicino ad uno

dy è un valore molto vicino a 1 ma sull’asse delle ordinate e sempre appartenente alla parabola.

Adesso sostituisco questo punto all’equazione della parabola:

1+dy = (1+dx)^{2}.

1+dy = 1 +2dx+dx^{2}.

1 e 1 si eliminano e rimane

dy = 2dx+dx^{2}.

divido tutti per dx a destra e sinistra

\cfrac{dy}{dx} = 2 +dx

Ora \cfrac{dy}{dx} lo indico con il simbolo y’

y’ = 2 + dx.

dx è così piccolo che posso pensarlo nullo.

Quindi:

y’=2

2 è proprio il valore del coefficiente angolare della retta passante per il punto di coordinate (1;1) e quindi per la definizione data precedentemente è proprio la derivata prima!

Per arrivare alla generalizzazione applico il procedimento precedente per un altro punto.

Prendo il punto di coordinate (2+dx;4+dy)  appartenente alla parabola e lo sostituisco nell’equazione.

4+dy = (2+dx)^{2}.

4+dy = 4 +4dx+dx^{2}.

i 4 si eliminano e rimane

dy=4dx+dx^{2}

divido tutto per dx ed ho:

\cfrac{dy}{dx} = 4 + dx

dx è piccolo e il coefficiente angolare della retta tangente nel punto di coordinate (2;4) vale 4.

Generalizzando (x+dx;y+dy)

y+dy = x^{2} + 2xdx+dx^{2}.

ma

y = x^{2}.

e sostituendola si ha:

x^{2} +dy = x^{2} +2xdx+dx^{2}.

Le x^{2} si eliminano e divido tutto per dx

\cfrac{dy}{dx}=2x+dx

y’ = 2x

che è proprio la derivata prima di:

y=x^{2}

About Francesco Bragadin

Insegno informatica, matematica e fisica. Ho terminato gli studi di ingegneria presso l'Università di Padova nel 1990 e mi occupo di analisi di reti, sviluppo siti web, applicazioni di app nell'ambito matematico.
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