Trigonometria: per esercitarsi sulle formule di addizione: problema 3

Fortunato Depero

3) Dato alpha;beta che appartengono al primo quadrante e che:

tanalpha=cfrac{1}{2}

cothbeta=3

Dimostrare che:

alpha+beta=cfrac{pi}{4}

Sviluppo

(1) alpha=cfrac{pi}{4}-beta

cothbeta=cfrac{cosbeta}{sinbeta}=3 ossia

(2) cosbeta=3cdotsinbeta

Adesso utilizzo la (1)

tanalpha=cfrac{sinalpha}{cosalpha}=cfrac{sinleft(cfrac[l]{pi}{4}-betaright)}{cosleft(cfrac{pi}{4}-betaright)}=cfrac{sincfrac{pi}{4}cosbeta-sinbetacoscfrac{pi}{4}}{coscfrac{pi}{4}cosbeta+sincfrac{pi}{4}sinbeta}=cfrac{1}{2}

quindi utilizzando anche la (2) e sviluppando il seno di 45° ed il coseno di 45° ho:

cfrac{cfrac{sqrt{2}}{2}cosbeta-sinbetacfrac{sqrt{2}}{2}}{cfrac{sqrt{2}}{2}cosbeta+cfrac{sqrt{2}}{2}sinbeta}=cfrac{cfrac{sqrt{2}}{2}left(3sinbeta-sinbetaright)}{cfrac{sqrt{2}}{2}left(3sinbeta+sinbetaright)}=cfrac{3-1}{3+1}=cfrac{2}{4}=cfrac{1}{2}

About Francesco Bragadin

Insegno informatica, matematica e fisica. Ho terminato gli studi di ingegneria presso l'Università di Padova nel 1990 e mi occupo di analisi di reti, sviluppo siti web, applicazioni di app nell'ambito matematico.
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