Maturità 2019: quesito sei

Spiegare la relazione esistente tra la variazione del campo che induce la corrente e il verso della corrente indotta. Calcolare la corrente media che passa nella spira durante i seguenti intervalli di tempo:

Una spira di rame, di resistenza R=4,0 m\Omega racchiude un’area di 30cm^{2} ed è immersa in un campo magnetico uniforme, le cui linee di forza sono perpendicolari alla superficie della spira. La component del campo magnetico perpendicolare alla superficie varia nel tempo come indicato in figura.

a: da 0,0 ms a 3,0 ms

b: da 3,0 ms a 5,0 ms

c: da 5,0 ms a 10 ms

Prerequiti

Conoscenza legge di Faraday-Neumann

Sviluppo

f=-\cfrac{d\Phi (B)}{dt}

La corrente

f=Ri

l’unica cosa che varia nel tempo è il campo indizione magnetico secondo il grafico, la superficie rimane costante per cui si avrà:

i=-\cfrac{SB'(t)}{R}

quindi finchè il campo magnetico è negativo si avrà la corrente da un verso appena diventa positivo la corrente avrà verso opposto.

Per calcolare il valore medio della corrente tra i ari intervalli di deve calcolare il valore del campo magnetico in tali intervalli estrapolando i dati.

Intervallo [ms]Campo magnetico B [mT]
0-3B=-\cfrac{2}{90}t^2
3-5B=-\cfrac{2t-8}{10}
5-10B=-\cfrac{-2t+20}{10}

Le funzioni trovate sono: nel primo tratto una parabola con vertice nell’origine e passante per il punto \left ( 3;-\cfrac{2}{10} \right ) negli altri due casi sono delle rette che passano per i punti estratti dal grafico.

Per trovare il valore medio della corrente nei vari intervalli si deve svolgere il seguente integrale:

IntervalloIntegrale
0-3i=-\frac{S}{3R}\int_{0}^{3}B'(t)dt=-\cfrac{S}{3R}\left ( B(3)-B(0) \right )
3-5
i=-\frac{S}{2R}\int_{3}^{5}B'(t)dt=-\cfrac{S}{2R}\left ( B(5)-B(3) \right )
5-10
i=-\frac{S}{5R}\int_{5}^{10}B'(t)dt=-\cfrac{S}{5R}\left ( B(10)-B(5) \right )

Primo intervallo:

i=\cfrac{30\cdot 10^{-4}\cdot 2\cdot 9\cdot 10^{-6}}{3\cdot 4\cdot 10^{-3}\cdot 90}=5\cdot 10^{-8}A

per il secondo ed il terzo è sufficiente sostituire i valori.

About Francesco Bragadin

Insegno informatica e telecomunicazioni al liceo scienze applicate ed all'indirizzo informatica e telecomunicazioni. Ho terminato gli studi in ingegneria elettronica e telecomunicazioni lavorando per molti anni come libero professionista nell'ambito della gestione storage e disaster recovery su mainframe.
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