Le definizione di derivata

Enrico Prampolini

Partiamo dalla definizione di derivata:

\underset{h\rightarrow 0}{lim}\cfrac{f(x+h)-f(x)}{h}.

Questa formula NON deve far paura ma soltanto pensare alla sua immediata applicabilità!

Più facile a dirsi che a farsi. Cercherò di dimostrare il più possibile questa mia affermazione.

Quando penso alla derivata penso alla definizione di velocità ed in particolar modo all’autovelox che esegue il limite precedente.

L’autovelox esegue la seguente operazione:

v=\cfrac{x_{2}-x_{1}}{t_{2}-t_{1}}.

Ossia considerando due punti calcola quanto tempo impiega l’automobile a percorrere lo spazio tra il punto 2 ed il punto 1, poi divide il risultato rispetto al tempo preso ed ha la velocità calcolata. Se tele limite mi dà un numero maggiore del limite fissato automaticamente scatta la foto e ci troviamo con una bella multa!

Primo esempio

l’esempio di partenza è calcolare la derivata della funzione:

f(x) = x.

f(x+h) = x+h

f(x) = x.

e quindi applicando solo la definizione cosa si ha?

\underset{h\rightarrow 0}{lim}\cfrac{x+h-x}{h}.

Si noti che x e -x si eliminano h diviso h dà 1 per cui ho 1.

Secondo esempio

Derivata della funzione:

f(x)=x^{2}

Per questa funzione cosa bisogna ricordarsi?

Applico la definizione di derivata:

\underset{h\rightarrow 0}{lim}\cfrac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h}.

\underset{h\rightarrow 0}{lim}\cfrac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h}=\underset{h\rightarrow 0}{lim}\cfrac{x^{2}+2xh-h^{2}-x^{2}}{h}=\underset{h\rightarrow 0}{lim}\cfrac{2xh-h^{2}}{h}=2x.

Adesso bisogna fermarsi un poco per generalizzare il procedimento.

Ma questo lo eseguirò nel prossimo post per adesso lascio che la cosa provi a sedimentarsi

About Francesco Bragadin

Insegno informatica, matematica e fisica. Ho terminato gli studi di ingegneria presso l'Università di Padova nel 1990 e mi occupo di analisi di reti, sviluppo siti web, applicazioni di app nell'ambito matematico.
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