Disequazione logaritmica

log_{\frac{1}{a}}\left ( x-1 \right )-log_{a^{2}}\left (x-1 \right )>0

Per risolverla devo avere la stessa base

Per fare questo utilizzo la seguente proprietà:

log_{a}b=\cfrac{log_{c}b}{log_{c}a}

ossia:

log_{\frac{1}{a}}\left ( x-1 \right )=\cfrac{log_{10\left ( x-1 \right )}}{log_{10}\left ( \cfrac{1}{a} \right )}=\cfrac{log_{10\left ( x-1 \right )}}{log_{10}\left ( a^{-1} \right )}=\cfrac{log_{10\left ( x-1 \right )}}{-log_{10}\left ( a \right )}=-\cfrac{log_{10\left ( x-1 \right )}}{log_{10}\left ( a \right )}

e

log_{a^{2}}\left (x-1 \right )=\cfrac{log_{10(x-1)}}{log_{10}a^{2}}=\cfrac{log_{10(x-1)}}{2log_{10}a}

e inserendoli in quella di partenza ho:

-\cfrac{log_{10\left ( x-1 \right )}}{log_{10}\left ( a \right )}-\cfrac{log_{10(x-1)}}{2log_{10}a}>0

e quindi facendo il m.c.m. la disequazione i di partenza diventa:

\cfrac{-2log_{10}(x-1)-log_{10}(x-1)}{2log_{10}a}>0

la disequazione di partenza è diventata:

\cfrac{-3log_{10}(x-1)}{2log_{10}a}>0

Lo studio del dominio parte dall’argomento del logaritmo posto al numeratore:

x-1>0

ossia

x>1

il dominio diventa:

D:\left \{ \forall x\epsilon \in {R}\mid x>1 \right \}

 

Adesso studio il segno del numeratore e del denominatore.

Il denominatore:

2log_{10}a>0

E‘ positivo per

a>1

Mentre è negativo per

0<a<1

Il numeratore:

-3log_{10}(x-1)>0

il -3 viene rappresentato con una linea tratteggiata.

0=log_{10}1 e quindi diventa

log_{10}(x-1)>log_{10}1

Concentrandosi solo sugli argomenti devo risolvere la seguente semplice disequazione:

x-1>1

quindi

x>2

Ho la seguente rappresentazione grafica:

Immagine

Adesso unisco il denominatore, che mi fornisce la dipendenza della disequazione dal parametro, ed il segno del numeratore.

Per

a>1 il denominatore è positivo per cui ho il seguente schema:

Immagine

e quindi la prima soluzione è:

Per a>1

1<x<2

Per 0<a<1 il denominatore è negativo ed ho il seguente schema:

Immagine

ed ho la seconda soluzione:

Per 0<a<1

x>2

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