Studio di funzione es – 16 –

Renè Magritte – Le passeggiate d’Euclide – 1955

16) y=\cfrac{2-2x}{4x^{2}+4}

-a- Dominio della funzione:

Essendo una funzione frazionaria i punti in cui non è definita la funzione sono quelli che annullano il denominatore:

4x^{2}+4=0

x^{2}=-1

che non ha soluzioni nel campo dei numeri reali.

D=\left\{ \forall x\epsilon Re\right\}

-b- Segno della funzione

N: 2-2x>0

x<1

D: è sempre positivo

Quindi la y è positiva per i valori di x minori di 1.

-c- Limiti

Non ci sono limiti verticali proprio per il Dominio

Cerco il limiti orizzontali:

\underset{x\rightarrow+\infty}{lim}\cfrac{2-2x}{4x^{2}+4}=D.L'H.=\underset{x\rightarrow+\infty}{lim}\cfrac{-2}{8x}=0

\underset{x\rightarrow-\infty}{lim}\cfrac{2-2x}{4x^{2}+4}=D.L'H.=\underset{x\rightarrow-\infty}{lim}\cfrac{-2}{8x}=0

Quindi si ha un limite orizzontale

Verifico la presenza o meno del limite obliquo:

\underset{x\rightarrow\infty}{lim}\cfrac{2-2x}{4x^{2}+4}\cdot\cfrac{1}{x}=D.L'H.=\underset{x\rightarrow\infty}{lim}\cfrac{-2}{8x+4}=0

non si ha limite obliquo

d) Massimi o minimi

y'=\cfrac{-2(4x^{2}+4)-(8x)(2-2x)}{(4x^{2}+4)^{2}}=\cfrac{8x^{2}-16x-8}{idem}

lo annullo per verificare la presenza di massimi o minimi relativi.

8x^{2}-16x-8=0

Divido per 8 e risulta:

x^{2}-2x-1=0

x_{1,2}=\cfrac{2\pm\sqrt{4+4}}{2}=\cfrac{2\pm\sqrt{8}}{2}

Approssimo le relative soluzioni:

x_{1}=-0,41 e x_{2}=2,41

Studio la disequazione:

x^{2}-2x-1>0 per capire quale dei due è il punto di massimo e di minimo:

quindi:

x_{1}=-0,41 è il punto di MASSIMO

x_{2}=2,41 è il punto di minimo

Per trovare la relativa ordinata si sostituiscono all’equazione di partenza (16)

e si trova:

M(-0,41;0,60)  e m(2,41;-0,10)

 

e) Intersezioni

Pongo x=0 e trovo y=0,5

Pongo y=0 e trovo x=1

f)  grafico

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