Maturità 2019: quesito sei

Spiegare la relazione esistente tra la variazione del campo che induce la corrente e il verso della corrente indotta. Calcolare la corrente media che passa nella spira durante i seguenti intervalli di tempo:

Una spira di rame, di resistenza R=4,0 m\Omega racchiude un’area di 30cm^{2} ed è immersa in un campo magnetico uniforme, le cui linee di forza sono perpendicolari alla superficie della spira. La component del campo magnetico perpendicolare alla superficie varia nel tempo come indicato in figura.

a: da 0,0 ms a 3,0 ms

b: da 3,0 ms a 5,0 ms

c: da 5,0 ms a 10 ms

Prerequiti

Conoscenza legge di Faraday-Neumann

Sviluppo

f=-\cfrac{d\Phi (B)}{dt}

La corrente

f=Ri

l’unica cosa che varia nel tempo è il campo indizione magnetico secondo il grafico, la superficie rimane costante per cui si avrà:

i=-\cfrac{SB'(t)}{R}

quindi finchè il campo magnetico è negativo si avrà la corrente da un verso appena diventa positivo la corrente avrà verso opposto.

Per calcolare il valore medio della corrente tra i ari intervalli di deve calcolare il valore del campo magnetico in tali intervalli estrapolando i dati.

Intervallo [ms]Campo magnetico B [mT]
0-3B=-\cfrac{2}{90}t^2
3-5B=-\cfrac{2t-8}{10}
5-10B=-\cfrac{-2t+20}{10}

Le funzioni trovate sono: nel primo tratto una parabola con vertice nell’origine e passante per il punto \left ( 3;-\cfrac{2}{10} \right ) negli altri due casi sono delle rette che passano per i punti estratti dal grafico.

Per trovare il valore medio della corrente nei vari intervalli si deve svolgere il seguente integrale:

IntervalloIntegrale
0-3i=-\frac{S}{3R}\int_{0}^{3}B'(t)dt=-\cfrac{S}{3R}\left ( B(3)-B(0) \right )
3-5
i=-\frac{S}{2R}\int_{3}^{5}B'(t)dt=-\cfrac{S}{2R}\left ( B(5)-B(3) \right )
5-10
i=-\frac{S}{5R}\int_{5}^{10}B'(t)dt=-\cfrac{S}{5R}\left ( B(10)-B(5) \right )

Primo intervallo:

i=\cfrac{30\cdot 10^{-4}\cdot 2\cdot 9\cdot 10^{-6}}{3\cdot 4\cdot 10^{-3}\cdot 90}=5\cdot 10^{-8}A

per il secondo ed il terzo è sufficiente sostituire i valori.

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Maturità 2019: quesito cinque

Si lanciano 4 dati con facce numerate da 1 a 6:

  • Qual è la probabilità che la somma dei 4 numeri usciti non superi il 5?
  • Qual è la probabilità che il prodotto dei 4 numeri usciti sia multiplo di 3?
  • Qual è la probabilità che il massimo numero uscito sia 4?

Prerequisito

  • conoscere bene le permutazioni con ripetizione
  • lo schema ad albero per calcolare le probabilità del prodotto e somma di eventi

Sviluppo

Primo punto:

Per avere che la somma non superi il 5 è necessario che si abbia la seguente quaterna:

1 1 1 2

essa può essere vista come una permutazione con ripetizione del gruppo 1 tre volte e quindi le possibili permutazioni sono:

p=\cfrac{4!}{3!}=4

ed anche la quaterna

1 1 1 1

La probabilità che esca 1 è \cfrac{1}{6} come pure che esca il 2 e quindi si deve effettuare il prodotto affinché esca la quaterna 1 1 1 2 ossia

\left ( \cfrac{1}{6} \right )^{4}

siccome può capitare quattro volte, la probabilità cercata sarà:

5\cdot \left ( \cfrac{1}{6} \right )^{4}

Secondo punto:

Il ragionamento è molto simile al precedente

per avere che il prodotto sia un multiplo del 3 si dovranno avere queste quaterne (a fianco inserisco quante possibili permutazioni possono essere inserite e elativa probabilità:

Quaternapermutazioneprobabilità
6 3 3 3 4
4\cdot \left ( \cfrac{1}{6} \right )^{4}
6 6 6 61
\left ( \cfrac{1}{6} \right )^{4}
1 1 1 34
4\cdot \left ( \cfrac{1}{6} \right )^{4}
6 1 1 1 4
4\cdot \left ( \cfrac{1}{6} \right )^{4}
6 6 6 34
4\cdot \left ( \cfrac{1}{6} \right )^{4}
6 6 3 36
6\cdot \left ( \cfrac{1}{6} \right )^{4}

Si sommano adesso tutte le probabilità e si ha:

23\cdot \left ( \cfrac{1}{6} \right )^{4}

terzo punto:

Seguo il ragionamento e lo schema precedente:

quaternapermutazioneprobabilità
4 1 1 14
4\cdot \left ( \cfrac{1}{6} \right )^{4}
4 2 2 244\cdot \left ( \cfrac{1}{6} \right )^{4}
4 3 3 344\cdot \left ( \cfrac{1}{6} \right )^{4}
4 4 4 411\cdot \left ( \cfrac{1}{6} \right )^{4}
4 1 2 266\cdot \left ( \cfrac{1}{6} \right )^{4}
4 1 1 266\cdot \left ( \cfrac{1}{6} \right )^{4}
4 1 3 366\cdot \left ( \cfrac{1}{6} \right )^{4}
4 1 1 366\cdot \left ( \cfrac{1}{6} \right )^{4}
4 2 2 366\cdot \left ( \cfrac{1}{6} \right )^{4}
4 2 3 366\cdot \left ( \cfrac{1}{6} \right )^{4}

Si sommano adesso tutte le probabilità e si ha:

45\cdot \left ( \cfrac{1}{6} \right )^{4}

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Maturità 2019: quarto quesito

Dati i punti A(2,0,-1) e B(-2,2,1), provare che il luogo geometrico dei punti P dello spazio, tali che, \overline{\hbox{PA}}=\sqrt{2}\overline{\hbox{PB}}, è costituito da una superficie sferica S e scrivere la sua equazione cartesiana. Verificare che il punto T(-10,8,7) appartenga ad S e determinare l’equazione del piano tangente in T ad S.

Prerequisiti

  • conoscenza della distanza tra due punti nello spazio
  • definizione di raggio e centro di una sfera
  • conoscenza della retta passante per due punti nello spazio
  • conoscenza della relazione tra vettore direzione della retta e di quello del piano
  • conoscenza condizione di appartenenza di un punto nello spazio.

Sviluppo

Per prima cosa impongo la condizione \overline{\hbox{PA}}=\sqrt{2}\overline{\hbox{PB}}.

\sqrt{(x-2)^2+y^2+(z+1)^2}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{(x+2)^2+(y-2)^2+(z-1)^2}

elevando tutto al quadrato e sviluppando i quadrati del binomio si ha:

x^2-x+4+y^2+z^2+2z+1=2x^2+8x+8+2y^2-8y+8+2z^2-4z+2

sommando i monomi simili ed ordinandoli nella forma della sfera si ha:

x^2+y^2+z^2+12x-8y-6z+13=0

per dimostrare che rappresenti una sfera i coefficienti dei termini al quadrato devono essere uguali: ciò è soddisfatto; inoltre il valore del raggio deve dare un valore maggiore di zero. Le coordinate del centro sono:

C(-6,4,3)

e quelle del raggio sono:

r=\sqrt{36+16+9-13}=r=\sqrt{48}

quindi è proprio l’equazione di una sfera:

Per verificare che il punto T(-10,8,7) appartenga alla sfera è sufficiente sostituire le sue coordinate all’equazione della sfera e verificare che si abbia un’identità.

100+64+49-120-64-42+13=0 ed infatti è un’identità:

Adesso determino la retta passante per il centro e per il punto T.

\left\{\begin{matrix} x=(-10+6)t-6\\  y=(8-4)t+4\\  z=(7-3)t+3 \end{matrix}\right.

quindi il vettore direzione ha componenti v(-4,4,4) che sono le stesse componenti del vettore direzione del piano perpendicolare a tale retta.

L’equazione del piano sarà quindi:

-4x+4y+4z-d=0

il piano passa per il punto T, per cui è sufficiente sostituire le sue coordinate per determinare d:

40+32+28+d=0

ed il piano avrà equazione:

-4x+4y+4z-100=0

oppure semplificando:

x-y-z+25=0

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Maturità 2019: terzo quesito

Tra tutti i parallelepipedi rettangoli a base quadrata, con superficie totale di area S, determinare quello per cui la somma delle lunghezze degli spigoli è minima.

Prerequisiti

  • saper sviluppare i problemi di massimo e minimo
  • nozione di base della geometria dei solidi per il calcolo della superficie totale
  • saper calcolare la derivata prima e la relativa disequazione

Sviluppo

Considero x la dimensione della base del mio parallelepipedo, devo esprimere la terza dimensione, che chiamerò a per comodità in funzione di x e dell’altro termine che conosco ossia la superficie totale.

Tutto questo per trovare il min(a+b+c) ma b=c=x per cui risulta:

min(2x+a)

La superfice totale risulta:

S_{t}=2x^{2}+4xa=S

risolvendola tenendo come incognita a:

a=\cfrac{S-2x^2}{4x}

La funzione di cui dovrò calcolare il minimo sarà perciò:

f(x)=2x+\cfrac{S-2x^2}{4x}=\cfrac{6x^2+S}{4x}

facendone la derivata prima si ha:

f'(x)=\cfrac{12x\cdot 4x-4(6x^2+S)}{16x^2}=\cfrac{24x^2-4S}{16x^2}

annullando il numeratore di vede che le soluzioni sono:

x=\pm \sqrt{\cfrac{S}{6}}

ed è positiva per x<-\sqrt{\cfrac{S}{6}} ed x>+\sqrt{\cfrac{S}{6}}

quindi il punto di minimo è x=\sqrt{\cfrac{S}{6}}

da cui si ricavano le tre dimensioni:

b=c=\sqrt{\cfrac{S}{6}}

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Maturità 2019: secondo quesito

E’ assegnata la funzione:

g(x)=\sum_{n=1}^{1010}x^{2n-1}=x+x^3+x^5+\cdot \cdot \cdot+x^{2019}

Provare che esiste un solo x_{0}\in \mathbb{R} tale che g(x_{0})=0. Determinare inoltre:

\underset{x\rightarrow +\infty}{lim}\cfrac{g(x)}{1.1^{x}}.

Prerequisiti

  • definizione di funzione dispari
  • analisi della crescenza e decrescenza di una funzione dalla sua derivata
  • applicazione di De L’Hospital o la conoscenza degli infinitesimi per lo sviluppo del limiti

Sviluppo

La funzione è una funzione dispari ossia:

f(x)=-f(-x)

infatti:

g(-x)=-x-x^3-x^5-\cdot \cdot \cdot -x^{2019}

e

-g(-x)=+x+x^3+x^5+\cdot \cdot \cdot +x^{2019}

quindi è simmetrica rispetto all’origine.

Inoltre facendo la derivata prima di g(x) si ha:

g'(x)=+1+3x^2+5x^4+\cdot \cdot \cdot +2019x^{2018}

che è la somma di soli termini positivi per cui è sempre positiva e quindi la funzione è sempre crescente.

Simmetrica e sempre crescente esisterà solo un punto che la annulla che sarà poi proprio l’origine.

Anche se il grafico non è richiesto il grafico infatti risulta:

Adesso si passa a calcolare il limite.

Siccome si è nella forma infinito su infinito applico De l’Hospital:

\underset{x\rightarrow +\infty}{lim}\cfrac{g(x)}{1.1^{x}}=\underset{x\rightarrow +\infty}{lim}\cfrac{1+3x^2+5x^4+\cdot \cdot \cdot +2019x^{2018}}{1.1^{x}ln(1.1)}.

Iterando De L’Hospital 2018 volte mi troverò un numero diviso 1.1^{x} e quindi il limite assumerà il valore 0.

\underset{x\rightarrow +\infty}{lim}\cfrac{g(x)}{1.1^{x}}=0.

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Maturità 2019: primo quesito

Una data funzione è esprimibile nella forma f(x)=\cfrac{P(x)}{x^2+d} dove d\in \mathbb{R} e p(x) è un polinomio. Il grafico di f interseca l’asse x nei punti di ascisse 0 e \cfrac{12}{5} ed ha come asintoti le rette di equazioni x=3 , x=-3 e y=5. Determinare i punti di massimo e di minimo relativi della funzione f.

Prerequisiti

  • conoscere il significato degli asintoti in relazione alla forma di una funzione
  • conoscere cosa rappresentano i punti che annullano il numeratore
  • conoscere il concetto di derivata per il calcolo dei punti di massimo e di minimo

Sviluppo

Essendoci due asintoti verticali il denominatore si annullerà in 3 e -3.

Si può scrivere nella forma: x^2 -9.

Il numeratore si annulla in 0 e \cfrac{12}{5} per cui può essere scritto come: x\cdot \left ( x-\cfrac{12}{5} \right ); si deve inserire l’ulteriore condizione che è presente un asintoto orizzontale in y=5.

Per avere tale asintoto è sufficiente moltiplicare il numeratore per 5 che risulterà quindi:

5x\cdot \left ( x-\cfrac{12}{5} \right ).

Ricapitolando le affermazioni precedenti la funzione, affinché soddisfi i vincoli dati si può scrivere nella forma:

f(x)=\cfrac{5x^2-12x}{x^2-9}.

Adesso di calcoli la sua derivata prima per la determinazione dei massimi e dei minimi:

f'(x)=\cfrac{(10x-12)(x^2-9)-2x(5x^2-12x)}{\left ( x^2-9 \right )^{2}}=\cfrac{12x^2-90x+108}{\left ( x^2-9 \right )^{2}}

I valori in cui si annulla il numeratore sono 6 e \cfrac{3}{2}.

Studiando il segno della derivata prima si ha che è positiva per x<\cfrac{3}{2} e x>6 per cui il massimo della funzione si ha in x=\cfrac{3}{2} ed il massimo in x=6.

Sostituendo tali valori nella funzione di partenza si avrà il punto di massimo:

M\left ( \cfrac{3}{2};1 \right )

ed il punto di minimo:

m\left ( 6;4 \right )

Il grafico della funzione, anche se non richiesto risulta:

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Maturità 2019: testo e sviluppo della prova d’esame

Ecco il testo:

1P. Primo problema

1.P.1. Primo punto: studio di una derivata e di un limite

1.P.2. Secondo punto: studio di funzione, integrali, simmetrie

1.P.3. Terzo punto: circuitazione del campo magnetico

1.P.4. Quarto punto: applicazione di Farady Neumann

2P. Secondo Problema

2.P.1. Primo punto: conoscenza della legge di Ampere-Maxwell

2.P.2. Secondo punto: circuitazione del campo magnetico ed applicazione Ampere-Maxwell

2.P.3. Terzo punto: studio di funzione

2.P.4. Quarto punto: integrale ed approfondimenti sullo studio di funzione

1Q. Primo quesito: determinazione funzione

2Q. Secondo quesito: calcolo di un limite e dell’andamento approssimato di funzione

3Q. Terzo quesito: problema di massimo e minimo

4Q. Quarto quesito: geometria nello spazio sfera e piano ad essa tangente

5Q. Quinto quesito: probabilità sul lancio di dati e permutazioni

6Q. Sesto quesito: induzione magnetica

7Q. Settimo quesito: relatività contrazione lunghezze, dilatazione dei tempi

8Q. Ottavo quesito: moto elicoidale di una carica in un campo magnetico

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Raspberry – Zerotruth 4.0

Il seguente paragrafo prende spunto dal manuale redatto da Nello Dalla Costa (http://www.zerotruth.net/download/ZEROTRUTH-4.0.pdf) adattandolo e semplificandolo per usi didattici.

Dove si offre un accesso ad una rete wifi è necessario:

– Autenticazione;

– Registrazione degli accessi nei log;

  • Accounting del traffico, del tempo e dei costi di connessione.

Questi tre servizi vengono offerti in maniera molto efficiente da ZeroTruth.

INSTALLAZIONE

Entrare in Zeroshel, nel pannello di setup selezionare ssh ed attivarla.

cd /DB

wget http://www.zerotruth.net/controldl.php?file=zerotruth-4.0.A.tar.gz

tar zxvf controldl.php?file=zerotruth-4.0.A.tar.gz

cd zerotruth-4.0

./install.sh

alla fine chiederà se attivare o meno l captive portal e rispondere affermativamente.


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Protocollo IEEE 802.11

Le comunicazioni di tipo wireless fanno riferimento al protocollo 802.11. Nelle reti wired un indirizzo è messo in relazione con una postazione fissa.

In questo caso l’unità è una stazione (STA). Il livello fisico (PHY) è caratterizzato da:

  • il mezzo utilizzato non ha limiti visibili ossia i frames di rete possono essere trasmessi anche se non si vede la STA
  • non è protetto da segnali esterni
  • la comunicazione è più dificoltosa
  • si hanno topologie diverse di rete
  • la comunicazione diretta tra STA non è in linea di massima possibile
  • si hanno proprietà di comunicazione asimmetriche e tempo varianti.

802.11 si ha l’estensione della comunicazione da stazioni portabili a stazioni mobili.

Le stazioni mobili sono alimentate a batteria quindi per aumentare l’efficienza non si deve pensare ad usare una maggiore potenza del segnale.

ARCHITETTURA

Il servizio viene suddiviso in celle come accade per i servizi di telefonia mobile.

Ogni cella si chiama BBS (Basic Service Set) ed è controllata da un AC (Access Point).

Ogni AC è connessa attraverso una dorsale Ethernet ed anch’essa può essere di tipo wireless.

Si utilizza un Portal per consentire la connessione tra una rete LAN 802.11 ed una rete 802.

LIVELLO MAC – Data Link – Distributed Coordination Function

E’ basato sul meccanismo di accesso multiplo con rilevamento della portante e prevenzione delle collisioni. (Carrier Sense Multiple Access con Collision Avoidance o CSMA/CA). I CSMA sono noti comunemente ma il più conosciuto è Ethernet.

CSMA: una stazione che desidera trasmettere ascolta il canale di comunicazione. Se è occupato la stazione rimanda la sua trasmissione all’istante successivo. Se invece è lbero allora la stazione può trasmettere.

Vi è la possibilità che due stazioni ascoltino il mezzo contemporaneamente e, pesando che sia libero, iniziano a trasmettere: in questo caso si ha una situazione di collisione.

Nel caso Ethernet, questa collisione viene gestita dalla stazione trasmettente usando un algoritmo chiamato Exponential Random Backoff Algorithm che fissa un tempo di ritrasmissione al termine del quale il canale viene nuovamente testato ed il tempo di ritrasmissione viene aumentato esponenzialmente.

Per le LAN questo metodo funziona perfettamente ma per il caso delle reti wired è da escludere perchè:

  • la Collision Detection richiederebbe un ricetrasmettitore di tipo Full Duplex ossia trasmette e riceve contemporaneamente aumentando il prezzo degli apparati
  • non possiamo assumere che tutte le stazioni si ascoltino a vicenda (ipotesi base per lo schema Collision Detection).

Il meccanismo che si adotta è il CA Collision Avoidance (CA) unito ad uno schema di Positive Acknowledge:

  • una stazione ascolta il mezzo. Se il mezzo è occupato rinvia la trasmissione. Se il mezzo è libero in un intervallo di tempo chiamato DIFS) allora ha il permesso di trasmettere
  • la stazione ricevente controlla il CRC (Cyclic Redundancy Checksums) del pacchetto ricevuto e manda un pacchetto di conferma (ACK). La ricezione della conferma denota che non si è verificata alcuna collisione. Comunque vene fissato un tempo massimo di ritrasmissione.

VIRTUAL CARRIER SENSE

Al fine di ridurre la probabilità che si verifichino collisioni tra due stazioni si usa il seguente meccanismo:

  • si trasmette un pacchetto chiamato RTS (Request To Send) che include:
    • sorgente e destinatario
    • a durata della successiva trasmissione

la stazione destinatario risponde con un pacchetto di controlli di replica CTS (Clear to Send) che include le stesse informazioni.

Tutte le stazioni che ricevono RTS o CTS attivano il Virtual Carrier Sense (NAV Natowork Allocation Vector) per un certo periodo di tempo pari a quello indicato nel RTS o CTS.

Questo meccanismo riduce la probabilità di una collisione su un’area di ricezione che è nascosta all’interno dell’intervallo di tempo necessario alla trasmissione del pacchetto RTS. La durata della trasmissione protegge l’area del trasmettitore dalle collisioni.

RTS e CTS sono molto piccoli e vengono riconosciuti molto velocemente.

Fragmentation e Reassembly

In una rete locale si utilizzano pacchetti aventi dimensioni di diverse centinaia di Bytes (pacchetto Ethernet 1518 Bytes). Nel caso della comunicazione radiomobile i pacchetti sono di dimensioni molto minori:

  • Bit Error Rate per un collegamento radio è molto elevata. La probabilità che la trasmissione di un pacchetto non vada a buon fine è proporzionale alla lunghezza.
  • nel caso di un pacchetto alterato ho un overhead più piccolo (il tempo di ritrasmissione)
  • in un sistema Frequency Hopping non è garantita la continuità del mezzo trasmissivo a causa dei salti di frequenza (avvengono ogni 20ms). Riducendo la dimensione del pacchetto diminuisce la probabilità che la trasmissione sia posticipata.

Comunque per consentire la trasmissione di grandi pacchetti si usa un algoritmo Send and wait:

  • la stazione trasmittente non ha il permesso di trasmettere un nuovo pacchetto fono a che non si sia verificata:
    • la ricezione di un ACK precedentemente trasmesso
    • decide che il pacchetto è stato ritrasmesso troppe volte per cui si elemina l’itnero frame.

Lo standard permette alla stazione di trasmettere altri pacchetti (contenti altri indirizzi) prima di eseguire la ritrasmissione. Quindi un AP possiede vari pacchetti in uscita.

METODI DI ACCESSO AD UNA BSS

Quando una stazione vuole accedere ad una BSS esistente la stazione necessita di acquisire la sincronizzazione.

  • Passive Scanning: la stazione aspettadi ricevereun Beacon Frame (frame spedito da AP per il sincronismo dei dati)
  • Active Scanning : la stazione cerca l’access Point trasmettendo un Probe Request Frame .

PROCESSO DI AUTENTICAZIONE e DI ASSOCIAZIONE

AP e stazione di scambiano le password. I DSS ossia l’insieme dei AP sono informati circa la posizione della stazione e capire a quale BSS trasmettere.

ROAMING

E’ il processo che consente lo spostamento di una stazione da una cella ad un’altra senza perdere la connessione.

  • in una rete LAN la transizione da una cella all’altra deve avvenire tra la trasmissione del pacchetto e quello successivo.
  • in un sistema telefonico, una disconnessione non influisce sulla trasmissione mentre in un sistema a pacchetti questo riduce le prestazioni.

Lo standard 802.11 non dice come deve essere implementato il roaming ma il funzionamento i base. Il processo di reassociazione consta di uno scambio di informazioni tra due AP interessati allo scambio attraverso il Distribution System senza appesantire la comunicazione attraverso il canale radio.

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C++ – Verifica fine anno scolastico 2018-2019


George Grie

Scrivi un programma che riceve in ingresso una sequenza N di numeri interi con il valore N inserito dall’utente e li memorizza in un vettore vetA. Terminato l’inserimento della sequenza di numeri, il programma deve visualizzare una riga di asterischi per ogni numero inserito in modo che il numero di asterischi nella riga sia pari al valore del numero inserito.

Per esempio, dato il vettore 9 4 6 il programma deve visualizzare:

  • vetA[0]=9 *********
  • vetA[1]:4 ****
  • vetA[2]:6 ******

Valutazione:


OperazionePunteggio
Inserimento commenti1
uso di funzioni prototipo1.5
uso di namespace personalizzabili3
uso di funzioni non prototipo1
consegna nei tempi stabiliti al termine dell’ora0.5
correttezza delle specifiche del programma3

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