INVALSI ON LINE - II superiore - Anno 2010-2011 prova completa

Giuseppe Muscio

Giuseppe Muscio

Test Completo INVALSI seconda superiore completo anno 2010-2011

Sie müssen eine Text angeben.
Sie müssen eine Text angeben.
Sie müssen dieses Feld ausfüllen.
Veröffentlicht unter Senza categoria | Hinterlasse einen Kommentar

Un modo diverso per fare le divisioni

imagesYT0SR3CDIndubbiamente per fare le divisioni si è sempre cercato di insegnare, attraverso il solito schema, il procedimento un po' involuto per dare il risultato corretto.

Con questo metodo si possono effettuare le divisioni per i numeri decimali limitati.

La divisione fornisce un numero decimale limitato quando il divisore è un multiplo del 2 o del 5 o di entrambi, ma appena il divisore è composto da numeri diversi dal 2 e dal 5, si hanno numeri periodici semplici o misti.

Da questa affermazione si può capire perché se si fosse adottato un sistema con una base superiore a 10 ad esempio di base 12, si sarebbero avuti meno numeri periodici!

Ma ecco il metodo.

Quanto fa

\cfrac{1}{5}

allora moltiplico per 10 il numeratore ed il denominatore:

\cfrac{1}{5}\cdot \cfrac{10}{10}

divido il 10 del numeratore con il 5 del denominatore ed ho:

\cfrac{2}{1}\cdot \cfrac{1}{10}

ed il risultato è quindi 0,2! ricordandosi appunto la facilità della divisione per 10.

Provo adesso la seguente divisione:

\cfrac{1}{8}

Allora moltiplico per 10 il numeratore ed il denominatore ed ho:

\cfrac{1}{8}\cdot \cfrac{10}{10}

Semplifico il 10 del numeratore dividendolo per 2 e l'8 del denominatore per 2:

\cfrac{5}{4}\cdot \cfrac{1}{10}

adesso moltiplico nuovamente per 10 il numeratore ed il denominatore:

\cfrac{5}{4}\cdot \cfrac{10}{10}\cdot \cfrac{1}{10}

e semplifico il 10 del numeratore per il 2 ed il 4 per due ed ho:

\cfrac{5}{1}\cdot \cfrac{5}{2}\cdot \cfrac{1}{10}\cdot \cfrac{1}{10}

moltiplico ancora per 10 il numeratore ed il denominatore per 10 (tale procedimento si reitera finchè al denominatore ho solo dei 10)

\cfrac{5}{1}\cdot \cfrac{5}{2}\cdot \cfrac{10}{10}\cdot \cfrac{1}{10}\cdot \cfrac{1}{10}

e divido per 2 il 10 del numeratore e per 2 il 2 del denominatore ed ho:

\cfrac{5}{1}\cdot \cfrac{5}{1}\cdot \cfrac{5}{1}\cdot \cfrac{1}{10}\cdot \cfrac{1}{10}\cdot \cfrac{1}{10}=125\cdot \cfrac{1}{1000}=0,125

Divertente no?

 

 

Veröffentlicht unter Senza categoria | Hinterlasse einen Kommentar

Dominio di una funzione

img_5536_1251034607La definizione formale di dominio di una funzione è:

insieme dei valori possibili che la variabile indipendente x può assumere, in modo che la funzione sia definita in tali valori.

In molti anni che insegno ho adottato questa definizione:

insieme dei valori di x per i quali posso DISEGNARE la funzione.

Questa definizione, indubbiamente molto spartana, mi ha consentito di poter far capire perché dal dominio devono essere esclusi quei punti in cui la funzione presenta un asintoto.

Infatti se si pensa, l'infinito non si può disegnare e quando una funzione tende all'infinito per un particolare punto, non può essere disegnata per cui tale punto deve essere  escluso dal dominio stesso!

Ecco i domini delle funzioni più comuni:

Funzione polinomiale

La retta è una funzione polinomiale y=3x+5 il cui grafico è:

retta

si nota dal grafico che il disegno esiste per ogni valore di x e si scrive:

D=\left \{ \forall x\in \mathbb{R} \right \}

La parabola è una funzione polinomiale:

y=x^{2}-5x+6

il cui grafico è:

parabolaed il dominio è:

D=\left \{ \forall x\in \mathbb{R} \right \}

Generalizzando

tutte le funzioni del tipo:

f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x^{1}+a_{0}

hanno dominio:

D=\left \{ \forall x\in \mathbb{R} \right \}

Funzione frazionaria

Ecco il grafico di una funzione frazionaria:grafico 1si noti subito che nell'intorno del numero 3 la funzione si avvicina sempre più al 3 (asintoto verticale) senza mai toccarlo.

La funzione frazionaria ha al numeratore un polinomio ed al denominatore un altro polinomio.

Il grafico precedente ha equazione:

y=\cfrac{x-2}{x-3}

e per determinare il dominio devo escludere i valori che annullano il denominatore ossia risolvere questa diseguaglianza:

x-3\neq 0

ossia

x\neq 3

il dominio diventa:

D=\left \{ \forall x\in \mathbb{R}|x\neq 3\right \}

generalizzando:

Si devono trovare i valori che annullano il denominatore.

Se

y=\cfrac{a_{n}x^{x}+...+a_{0}}{(x-x_{1})\cdot (x-x_{2})\cdot ...\cdot (x-x_{n})}

i valori che annullano il denominatore sono:

  x_{1},x^{2},...,x_{n}

il dominio diventa quindi:

D=\left \{ \forall x\in \mathbb{R}|x\neq x_{1},x\neq x_{2},...,x\neq x_{n}\right \}

Funzione irrazionale

Ecco la rappresentazione sul piano cartesiano di una funzione irrazionale:

irrazionaleessa ha come equazione:

y=\sqrt{x-1}

per studiare il dominio bisogna porre l'argomento della radice quadrata sempre strettamente maggiore di zero.

Ossia

x-1\geq 0

Il dominio diventa:

D=\left \{ \forall x\in \mathbb{R}|x \geq 1\right \}

generalizzando; data la funzione:

y=\sqrt[n]{A(x)}

con n pari, bisogna studiare il segno dell'argomento ossia porre:

A(x)\geqslant 0

il dominio diventa quindi:

D=\left \{ \forall x\in \mathbb{R}|A(x) \geq 0\right \}

Funzione esponenziale

Ecco la rappresentazione grafica di una funzione esponenziale:

esponenzialela cui equazione è:

y=e^{x}

il cui dominio coincide con le funzioni polinomiali ossia:

D=\left \{ \forall x\in \mathbb{R} \right \}

generalizzando:

y=a^{A(x)} con

A(x) una funzione polinomiale

Si ha quindi sempre come dominio:

D=\left \{ \forall x\in \mathbb{R} \right \}

Funzione logaritmica

Ecco il grafico:

logaritmicche ha equazione:

y=\ln (x+1)

e per determinare il suo dominio devo prendere l'argomento e porlo maggiore di 0:

x+1>0\Rightarrow x>-1

Quindi il dominio si scrive:

D=\left \{ \forall x\in \mathbb{R}|x>-1\right \}

generalizzando:

y=\ln (A(x))

bisogna porre sempre l'argomento maggiore di zero (non anche uguale a zero perché in 0 il logaritmo ha un asintoto verticale).

D=\left \{ \forall x\in \mathbb{R}|A(x)>0\right \}

Combinazione delle funzioni precedenti

Per studiare il dominio dato dalla combinazione di una delle precedenti funzioni bisogna impostare un sistema di disequazioni o diseguaglianze e come soluzione si ha quell'insieme di valori che vanno bene a tutti.

 

 

 

 

 

 

Veröffentlicht unter Senza categoria | Hinterlasse einen Kommentar

Applicare i sistemi ad un problema

untitledQuesto problema è stato tratto da La settimana Enigmistica del 24 dicembre 2015 quesito 7063 e dato alla verifica sui sistemi d'equazione alle classi di seconda superiore il 13 gennaio 2016.

"Biagio, Fulvio e Giacomo sono tre studenti universitari di matematica. Per raggranellare qualche soldo, nel mese di dicembre, si sono ritrovati a lavorare in un grande magazzino, nel reparto degli addobbi natalizi. Forti della loro padronanza dei numeri, a volte si divertivano a mettere qualcuno in difficoltà. Così, a un signore troppo pignolo,

  • Biagio ha risposto: "Si, 7 palline e 5 stelle costano come 6 angioletti"
  • Fulvio ha rincarato: "Oppure, se vuole, 4 palline più 9 angioletti hanno lo stesso prezzo di 5 stelle".
  • Giacomo interviene: "E 6 angioletti e 3 stelle valgono come 4 palline

Ma quando il cliente, frastornato, è giunto alla cassa, si è scoperto che uno di loro aveva mentito mentre gli altri due avevano dato informazioni corrette.

Chi ha dato informazioni errate?

Soluzione:

Si imposta un sistema di equazione con

p palline

a angioletti

s stelle

\left\{ \begin{array}{c} 7p+5s=6a \\ 4p+9a=5s \\ 6a+3s=4p \end{array} \right.

Adesso li ordino ed ho:

\left\{ \begin{array}{c} 7p+5s-6a=0 \\ 4p-5s+9a=0 \\ -4p +3s +6a= 0\end{array} \right.

Suppongo che le prime due ossia Biagio e Fulvio abbiano detto la verità e le sommo:

\cfrac{+\left\{ \begin{array}{c} 7p+5s-6a=0 \\ 4p-5s+9a=0 \end{array} \right.}{11p+//+3a=0}

che risolta dà:

p=-\cfrac{3}{11}a

che è impossibile in quanto le palline non possono dare un costo negativo.

Per cui o Biagio o Fulvio ha detto il falso!

Adesso sommo Fulvio e Giacomo

\cfrac{+\left\{ \begin{array}{c} 4p-5s+9a=0 \\ -4p+3s+6a=0 \end{array} \right.}{//-2s+15a=0}

ossia

s=\cfrac{15}{2}a

che è possibile.

Per cui chi dice il falso è Biagio.

Veröffentlicht unter Senza categoria | Hinterlasse einen Kommentar

INVALSI ON LINE - Quiz geometria

Sergey Tyukanov

Sergey Tyukanov

Per esercitarsi con la geometria nell'ottica del superamento del test INVALSI per la scuola secondaria di secondo grado

Sie müssen eine Text angeben.
Sie müssen eine Text angeben.
Sie müssen dieses Feld ausfüllen.
Veröffentlicht unter Senza categoria | Hinterlasse einen Kommentar

INVALSI ON LINE - Quiz disequazioni

Arte-Pinturas-Surrealismo-Salvador-Dali-13

Per esercitarsi con le disequazioni nell'ottica del superamento del test INVALSI per la scuola secondaria di secondo grado

Sie müssen eine Text angeben.
Sie müssen eine Text angeben.
Sie müssen dieses Feld ausfüllen.

Veröffentlicht unter Senza categoria | Verschlagwortet mit | Hinterlasse einen Kommentar

INVALSI - ON LINE - Quiz percentuali, statistica, probabilità

thELPTOAWT

Per esercitarsi con la statistica, la probabilità e le percentuali nell'ottica del superamento del test INVALSI per la scuola secondaria di secondo grado

Sie müssen eine Text angeben.
Sie müssen eine Text angeben.
Sie müssen dieses Feld ausfüllen.

Veröffentlicht unter Senza categoria | 2 Kommentare

Proprietà dei logaritmi

  1. kandinsky_black-violet\log_{a}a=1
  2. \log_{a}1=0
  3. \log_{a}b+\log _{a}c=\log _{a}(b\cdot c)
  4. \log_{a}b-\log _{a}c=\log _{a}\left ( \cfrac{b}{c} \right )
  5. b\log _{a}c=\log _{a}c^{b}
  6. \log _{a}b=\cfrac{\log _{c}b}{\log _{c}a}

Esempi sulle precedenti proprietà

  1. \log _{5}5=1
  2. \log _{5}1=0
  3. \log _{3}5+\log _{3}8=\log_{3}40
  4. \log _{3}10+\log _{3}2=\log_{3}5
  5. 4\log _{3}2=\log_{3}2^{4}=\log _{3}16
  6. \log _{5}3=\cfrac{\log _{10}3}{\log _{10}5}
Veröffentlicht unter Senza categoria | Hinterlasse einen Kommentar

Esercizi sulla determinazione dei massimi e minimi

  1. CRI_151474Determinare il massimo ed il minimo assoluti della funzione:

y=2x^{3}-15x^{2}+24x

nell'intervallo chiuso

\left [ 1;5 \right ]

soluzione

2. Determinare il massimo ed il minimo assoluti della funzione

f(x)=\cfrac{e^{-x}}{x}

nell'intervallo

\left [ -2;-\cfrac{1}{2} \right ]

soluzione

3. Determinare il massimo ed il minimo assoluti della funzione:

f(x)=x\cdot \ln x

nell'intervallo:

\left [ \cfrac{1}{e^{2}};e \right ]

soluzione

Veröffentlicht unter Senza categoria | Hinterlasse einen Kommentar

INVALSI ON LINE - Quiz di logica e calcoli

th9AD4KUZ9

Per esercitarsi con i calcoli e la logica nell'ottica del superamento del test INVALSI per la scuola secondaria di secondo grado

Sie müssen eine Text angeben.
Sie müssen eine Text angeben.
Sie müssen dieses Feld ausfüllen.

Veröffentlicht unter Senza categoria | Hinterlasse einen Kommentar