Le disequazioni di secondo grado

7a57b6bc00f7bac49f5beffef3b37465Le disequazioni di secondo grado possono essere risolte o applicando la scomposizione del polinomio di secondo grado o attraverso il metodo grafico o della parabola.

Scomposizione del polinomio di secondo grado

un polinomio di secondo grado può sempre essere scritto come:

ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})

dove

x_{1},x_{2}

sono le soluzioni dell'equazione

ax^{2}+bx+c=0

quindi si studia il grafico per determinare il segno finale della disequazione:

ax^{2}+bx+c\geq 0

o della disequazione:

ax^{2}+bx+c\leq 0

Unica avvertenza studiare SEMPRE

\left ( x-x_{1} \right )\geq 0

e

\left ( x-x_{2} \right )\geq 0

ed il segno di a

Con questi esempi spero di chiarire la cosa:

Es1.

x^{2}-5x+6>0

risolvo l'equazione:

x^{2}-5x+6=0

essa ha soluzione:

x_{1}=2,x_{2}=3

e la

a=1

Studio il segno di

(x-2)>0\Rightarrow x>2

(x-3)>0\Rightarrow x>3

Rappresento graficamente la soluzione evidenziando che essendo un prodotto verifico dove il prodotto fornisce il segno positivo.

disequazioneSi noti che la a=1 e quindi la si rappresenta con una linea continua.

La soluzione è

x<2;x>3

Es2.

x^{2}-5x+6<0

risolvo l'equazione:

x^{2}-5x+6=0

essa ha soluzione:

x_{1}=2,x_{2}=3

e la

a=1

Studio il segno di

(x-2)>0\Rightarrow x>2

(x-3)>0\Rightarrow x>3

Si NOTA che si studia comunque il segno maggiore di zero!

Rappresento graficamente la soluzione evidenziando che essendo un prodotto verifico dove il prodotto fornisce il segno Negativo questa volta

disequazione

La soluzione, questa volta è:

2<x<3

Es3.

-x^{2}+5x-6>0

risolvo l'equazione:

-x^{2}+5x-6=0

essa ha soluzione:

x_{1}=2,x_{2}=3

e la

a=-1

Studio il segno di

(x-2)>0\Rightarrow x>2

(x-3)>0\Rightarrow x>3

Rappresento graficamente la soluzione evidenziando che essendo un prodotto verifico dove il prodotto fornisce il segno positivo

Si noti che questa volta la a=-1 ossia viene rappresentata con una linea tratteggiata.

disequazionedevo studiare dove si ha il segno positivo ed è tra 2 e 3.

2<x<3

Metodo grafico

Il metodo grafico è molto semplice, è sufficiente conoscere la rappresentazione di una parabola e le sue intersezioni con l'asse delle x che sono le soluzioni della relativa equazione di secondo grado.

Es1.

x^{2}-5x+6>0

risolvo l'equazione:

x^{2}-5x+6=0

essa ha soluzione:

x_{1}=2,x_{2}=3

e la

a=1

la rappresentazione sul piano cartesiano è:

parabola

Si noti subito che la parabola è sopra l'asse delle x per quei valori per cui:

x<2;x>3.

Es2.

Nel secondo esempio si deve studiare:

x^{2}-5x+6<0

Il procedimento è uguale all'esempio precedente ed il grafico pure:

parabolama questa volta si vuole saper dov'è minore di zero:

2<x<3.

Es3.

-x^{2}+5x-6>0

in questo caso le soluzioni sono sempre le stesse ma il grafico è:

parabola2e dov'è maggiore di zero?

2<x<3

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Soluzioni sulle disequazioni

6.1.

surrealismo-rostros-con-frutas-oleos4x+7<2x-9

Raccolgo le x a sinistra del verso della disequazione e i numeri a destra.

Per fare questo sommo a sinistra e destra

  • -7
  • -2x

-2x-7+4x+7<2x-9-2x-7.

-2x-\not{7}+4x+\not{7}<\not{2x}-9-\not{2x}-7.

-2x+4x<-9-7.

2x<-16

Vale sempre il fatto che il numero che moltiplica la x debba essere l'1 per cui divido a destra e a sinistra per 2

\cfrac{1}{2}\cdot 2x<-16\cdot \cfrac{1}{2}

la soluzione è:

x<-8

Bisogna sempre fare la rappresentazione grafica della soluzione:

disequazione6.2.

8-5x>2x-20.

-5x-2x>-20-8.

-7x>-28.

Siccome il coefficiente della x è negativo cambio di segno moltiplicando per -1 a sinistra e a destra e cambio il verso della disequazione.

7x<28.

\cfrac{1}{7}\cdot 7x<28\cdot \cfrac{1}{7}.

x<4

disequazione

7.1.

Primo metodo

2x-\cfrac{1}{2}>5x-1

in questo semplice caso si potrebbe direttamente raggruppare le x a sinistra del verso e i numeri a destra:

2x-5x> \cfrac{1}{2}-1

-3x> -\cfrac{1}{2}

cambio il verso della disequazione:

3x< \cfrac{1}{2}

quindi divido a sinistra e a destra per 3 ed ho:

\cfrac{1}{3}\cdot 3x< \cfrac{1}{2}\cdot \cfrac{1}{3}

\cfrac{1}{\not{3}}\cdot \not{3}x< \cfrac{1}{2}\cdot \cfrac{1}{3}

x< \cfrac{1}{6}

Secondo metodo

2x-\cfrac{1}{2}>5x-1

Faccio il minimo comune multiplo a sinistra e a destra:

\cfrac{4x-1}{2}>\cfrac{10x-2}{2}

moltiplico per 2 a sinistra e a destra:

2\cdot \cfrac{4x-1}{2}>\cfrac{10x-2}{2}\cdot 2

\not{2}\cdot \cfrac{4x-1}{\not{2}}>\cfrac{10x-2}{\not{2}}\cdot \not{2}

4x-10x>-2+1

-6x>-1

moltiplico per -1 a sinistra e a destra cambiando il verso della disequazione

6x<1

\cfrac{1}{6}\cdot 6x<1\cdot \cfrac{1}{6}

\cfrac{1}{\not{6}}\cdot \not{6}x<1\cdot \cfrac{1}{6}

e quindi

x< \cfrac{1}{6}

Graficamente è:

Immagine7.2.

\cfrac{x-1}{2}-1>-x

minimo comune multiplo

\cfrac{x-1-2}{2}>-\cfrac{2x}{2}

x-1-2>-2x

2x+x>1+2

3x>3

\cfrac{1}{3}\cdot 3x>3\cdot \cfrac{1}{3}

\cfrac{1}{\not{3}}\cdot \not{3}x>\not{3}\cdot \cfrac{1}{\not{3}}

la soluzione è:

x>1

Graficamente

Immagine28.1.

\left ( x-1 \right )^{2}+9x\left ( x-1 \right )>x^{2}-4x+4-\left ( 1+3x \right )\left ( 1-3x \right )

Per essere in grado di affrontare agevolmente questa è necessario ricordarsi bene i prodotti notevoli.

La prima parentesi è il quadrato della differenza di un binomio, mentre l'ultima parentesi e la differenza del quadrato di un binomio.

x^2-2x+1+9x^2-9x>x^2-4x+4-\left ( 1-9x^2 \right )

Si noti come l'ultima parentesi l'ho tenuta in quanto vi è il simbolo - che modifica il segno di tutti i monomi presenti all'interno della parentesi.

x^2-2x+1+9x^2-9x>x^2-4x+4-1+9x^2

\not{x^2}-2x+1+\not{9x^2}-9x>\not{x^2}-4x+4-1+\not{9x^2}

-2x+1-9x>-4x+4-1

-2x-9x+4x>+4-1-1

-7x>2

7x<-2

\cfrac{1}{7}\cdot 7x<-2\cdot \cfrac{1}{7}

\cfrac{1}{\not{7}}\cdot \not{7}x<-2\cdot \cfrac{1}{7}

e la soluzione diventa:

x<-\cfrac{2}{7}

Graficamente si ha:

Immagine3

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Esercizi sui massimi e minimi

Jim Warren

Jim Warren

Per determinare i massimi o i minimi di una funzione si deve:

come premessa sempre prima determinare il dominio della funzione perché potrebbe capitare di trovare un massimo o un minimo ed essere escluso perché all'esterno del dominio.

  • calcolare la derivata prima
  • porre a zero la derivata prima per trovare i punti stazionari.
  • studiare il segno della derivata prima
  • se la derivata prima è negativa la funzione è decrescente altrimenti crescente
  • determinati i punti di minimo o massimo si sostituiscono nella funzione di partenza e NON nella derivata prima (ovviamente perché se si facesse di troverebbe 0!) e si trova la relativa ordinata.

Esercizi per un livello base:

6.1. y=x^3-3x^2+1 \left [ x_{M}=0;x_{m}=2 \right ]
6.2. y=\cfrac{x^4}{4}-\cfrac{2}{3}x^{3} \left [ x_{m}=2 \right ]
6.3. y=x^{3}-2x^{2}+x-4 \left [ x_{m}=1; x_{M}=\cfrac{1}{3}\right ]
6.4. y=x^{4}+2x \left [ x_{m}=-\cfrac{1}{\sqrt[3]{2}} \right ]
 6.5. y=\cfrac{1}{5}x^{5}+\cfrac{1}{3}x^{3} nessun punto di max o min
6.6. y=\cfrac{1}{3}x^{3}-2x^{2}+3x-2 \left [ x_{M}=1;x_{m}=3 \right ]
6.7. y=6x^{5}-10x^{3} \left [ x_{M}=-1;x_{m}=1 \right ]
6.8. y=\cfrac{x^{4}}{4}-2x^{3}+1 \left [ x_{m}=6 \right ]
6.9. y=x^{4}+\cfrac{4}{3}x^{3}-4x^{2}-1 \left [\left x_{m}=-2;x_{m}=1;x_{M}=0 \right ]

Esercizi per un livello discreto

7.1.  y=\cfrac{x^3}{3}-x^{2}+x nessun punto di max o min
7.2. y=\cfrac{x^{3}}{\left ( 1-x \right )^{2}} \left [ x_{m}=3 \right ]
7.3. y=\cfrac{1}{x^{2}-4} \left [ x_{M}=0 \right ]
7.4. y=\cfrac{x^2-x-1}{x^{2}-x+1} \left [ x_{m}=\cfrac{1}{2} \right ]
 7.5. y=\cfrac{1}{x^{2}+4}  \left ( x_{M}=0 \right )
7.6. y=\cfrac{2x^{2}}{x-1}  \left [ x_{M}=0;x_{m}=2 \right ]
7.7. y=\cfrac{1}{x^{2}-3x+2} \left [ x_{M}=\cfrac{3}{2} \right ]
7.8. y=\cfrac{x^{2}-3x+1}{2x^{2}-3x+1} \left [ x_{M}=0;x_{m}=\cfrac{2}{3} \right ]
7.8. y=\cfrac{-x^{2}+3x}{2x-8} \left [ x_{m}=2;x_{M}=6 \right ]
7.9. y=\cfrac{x-3}{\left ( x-2 \right )^{3}} \left [ x_{M}=\cfrac{7}{2} \right ]
7.10. y=\cfrac{x^{3}-3x^{2}+4}{x^{2}} \left [ x_{m}=2 \right ]

Per un livello buono

8.1. y=x^{3}e^{x} \left [ x_{m}=-3 \right ]
8.2. y=\ln x-x \left [ x_{M}=1 \right ]
8.3. y=x\ln x  \left [ x_{m}=\cfrac{1}{e} \right ]
8.4. y=e^{x}-x  \left [ x_{m}=0 \right ]
8.5. y=\cfrac{x^{3}}{3}e^{-x}  \left [ x_{M}= 0\right ]
8.6. y=\cfrac{x^{2}-4}{4\left ( x^{2}-1 \right )} \left [ x_{m}=0 \right ]

Per un livello quasi ottimo

 9.1. y=2x^{2}\ln x  \left [ x_{m}=\cfrac{1}{\sqrt{e}} \right ]
9.2. y=\sqrt[3]{x^{2}}-x \left [ x_{m}=0-;x_{M}=\cfrac{8}{27} \right ]
9.3. y=\sqrt[3]{x^{5}-x^{2}} \left [ x_{M}=0;x_{m}=\cfrac{2}{3} \right ]
9.4. y=\sqrt[3]{\left ( x-1 \right )^{2}} \left [ x_{m}=1 \right ]
9.5. y=\sqrt[5]{x^{2}} \left [ x_{m}=0 \right ]
9.6. y=\cfrac{3}{2}\sqrt[3]{\left ( 1-2x \right ^{2})} \left [ x_{m}=\cfrac{1}{2} \right ]

Per muoversi con sicurezza

10.1.  y=e^{\frac{2x^{2}}{x-1}}  \left [ x_{M=0};x_{m}=2 \right ]
10.2. 1+\sqrt[3]{\left ( x+3 \right )^{2}} \left [ x_{m}=-3 \right ]
10.3. y=2x\sqrt{x+1} \left [ x_{M}=-1;x_{m}=-\cfrac{2}{3} \right ]
10.4. y=\ln \cfrac{x-1}{x+3} \left [ x_{m}=-6;x_{M} =-4\right ]
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Disequazioni lineari- Esercizi

Catrin-Welz-Stein

Catrin-Welz-Stein

Per risolvere una disequazione si richiede soltanto di saper risolvere un'equazione di primo grado, valgono le stesse regole:

  • il coefficiente che moltiplica la x deve sempre essere positivo
  • per arrivare al punto precedente si può:
    • moltiplicare a sinistra e a destra per la stessa quantità,
    • sommare a sinistra e a destra per la stessa quantità
    • dividere a sinistra e a destra per la stessa quantità
UNICO AVVERTIMENTO
Se si moltiplica a sinistra e a destra per un numero negativo si cambia il verso

Livello sufficiente: richiedono di ricordarsi le regole per la soluzione delle equazioni di primo grado.

6.1.  4x+7<2x-9 [x<-8]
6.28-5x>2x-20 [x<4]
6.36(x+2)+3\leq 18 \left [ x\leq \cfrac{1}{2} \right ]
6.4. 4\left ( 3x-1 \right )-4\left ( 1+x \right )>6\left ( x+2 \right )-15 \left [ x> \cfrac{5}{2} \right ]
6.5. x-3\left ( x+2 \right )\leq 10+4\left ( 1-2x \right ) \left [ x\leq \cfrac{10}{3} \right ]
6.6. 5x+9\left ( 2-x \right )>3\left ( x+1 \right )-4\left ( 2+x \right )-3x Ogni valore di x
6.7. 8-2\left ( 3-4x\right )-\left (6x-10\right )\leq 6\left ( 4x+3\right )+8x \left [ x\geq -\cfrac{1}{5} \right ]
6.8. 4(2x-7)-3x+8\left ( 3-x \right )>9x-4\left ( 3x-1 \right )+20 nessun valore di x
6.9 3x-8>0 \left [ x>\cfrac{8}{3} \right ]
6.10. 5x-2<8x+3 \left [ x>-\cfrac{5}{3} \right ]
6.11. 1-3x<2x-6 \left [ x>\cfrac{7}{5} \right ]
6.12. 5x-2>2x+4 \left [ x>2\right ]
6.13. 3x+3>9x-3 \left [ x<1 \right ]
6.14. 18x+9>9x+11 \left [ x>\cfrac{2}{9} \right ]
6.15. 16x+10<17x+6 \left [ x>4 \right ]
6.16. 2x-5<3+2x sempre vera
6.17. 7a+1<7a nessun valore di a
6.18. 2(9x+5)>3(3x+4) \left [ x>\cfrac{2}{9} \right ]
6.19. 12(x+1)<17(x-1)+25 \left [ x>\cfrac{4}{5} \right ]
6.20. 6x-(4-x)<8x+(1-2x) \left [ x<5 \right ]
6.21. 6(x+1) \geq 3(1+2x) ogni valore di x
6.22. 6x-12+3(x+2)+2(x+3)<11 nessun valore di x
6.23. 10(x+1)+2(x+1)<11x+12 \left [ x<0 \right ]

Livello discreto: richiede manualità con le frazioni e lo sviluppo delle parentesi

 7.1. 2x-\cfrac{1}{2}>5x-1 \left [x<\cfrac{1}{6}\right ]
7.2. \cfrac{x-1}{2}-1> -x \left [ x>1 \right ]
7.3. 3x+\cfrac{3}{2}-x>\cfrac{x+1}{2} \left [ x>-\cfrac{2}{3} \right ]
7.4. x+\cfrac{1-x}{3}>2x-1 \left [ x<1 \right ]
7.5. \cfrac{1}{2}x-2\leq 3x-1 x\geq -\cfrac{2}{5}
7.6. 2x+3>\cfrac{4x-1}{2} \left [ \forall x\in \mathbb{R} \right ]
7.7. \cfrac{1}{5}\left ( x-2 \right )-\left [ 1+2x-\left ( x+\cfrac{1}{2} \right ) \right ]\leq 1 \left [ x\geq -\cfrac{19}{8} \right ]
7.8. 3x-1>\cfrac{9x+8}{3} nessuna soluzione
7.9. \cfrac{2x+1}{3}-\cfrac{x-1}{2}<0 \left [ x<-5 \right ]

Verso un livello buono e con una certa sicurezza

8.1. \left ( x-1 \right )^{2}+9x\left ( x-1 \right )>x^{2}-4x+4-\left ( 1+3x \right )\left ( 1-3x \right )  \left [ x<-\cfrac{2}{7} \right ]
8.2. \cfrac{\left ( x-1 \right )^{2}}{2}-\left ( \cfrac{x+1}{2} \right )^{2}-1<\cfrac{x^{2}-1}{4} \left [ x>-\frac{1}{3} \right ]
8.3. 9x+20\geq 2\left [ \cfrac{29}{4}-6\left ( x-1 \right )+9x-\cfrac{9}{4} \right ] \left [ x\geq \cfrac{2}{3} \right ]
8.4. \cfrac{\left ( x+1 \right )\left ( x-1 \right )}{2}-\cfrac{2x-3}{4}>\cfrac{\left ( 2x+1 \right )\left ( x-3 \right )}{4} \left [ x>-\cfrac{4}{3} \right ]

Per un livello ottimo

9.1.\cfrac{x}{\sqrt{2}}+\cfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-2}>x-\cfrac{1}{2-\sqrt{2}}  \left [ x<-\left ( \sqrt{2}+1 \right ) \right ]
9.2. \cfrac{\left ( x+\sqrt{2} \right )\left ( \sqrt{2}-x \right )}{4}+\cfrac{x}{3}>\cfrac{2\left ( x+1 \right )-3\left ( 1-2x \right )}{6}-\cfrac{1}{4}x^2 \left [ x<\cfrac{2}{3} \right ]

soluzioni

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Il paradosso di Zenone: introduzione alle successioni ed alle serie

th2WK6102E

Jacek Yerka

Un paradosso è una frase o un pensiero logico che sembra in contraddizione con il pensiero comune.

Il paradosso più conosciuto è quello di Zenone (filosofo greco del V secolo a.C.)

Eccolo:

Se Achille (detto "pie' veloce") venisse sfidato da una tartaruga nella corsa e concedesse alla tartaruga un piede di vantaggio, egli non riuscirebbe mai a raggiungerla, dato che Achille dovrebbe prima raggiungere la posizione occupata precedentemente dalla tartaruga che, nel frattempo, sarà avanzata raggiungendo una nuova posizione che la farà essere ancora in vantaggio; quando poi Achille raggiungerà quella posizione nuovamente la tartaruga sarà avanzata precedendolo ancora. Questo stesso discorso si può ripetere per tutte le posizioni successivamente occupate dalla tartaruga e così la distanza tra Achille e la lenta tartaruga pur riducendosi verso l'infinitamente piccolo non arriverà mai ad essere pari a zero.

Per meglio capire il paradosso si osservi la seguente figura:

image006Ossia si consideri che:

  • Achille vada ad una velocità doppia di quella della tartaruga
  • la tartaruga parta con mezzo metro di vantaggio rispetto Achille.
  • che si cerchi di capire se entrambi raggiungono il metro da percorrere.

Si può dimostrare che Zenone sbagliava in due maniere:

  • attraverso le nozioni fisica ed in particolare utilizzando la descrizione del moto rettilineo uniforme
  • attraverso la convergenza della serie numerica.

Dimostrazione mediante la convergenza della serie numerica.

  • la tartaruga andando ad una velocità che è metà di quella di Achille percorre sempre metà spazio rispetto a quella che percorre Achille.

Achille all'inizio percorre:

\cfrac{1}{2}

la tartaruga intanto, nello stesso tempo, si è spostata percorrendo:

\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{4}=\cfrac{3}{4}

Achille arriva al punto della tartaruga precedente mentre la tartaruga ha percorso

\cfrac{3}{4}+\cfrac{1}{8}=\cfrac{7}{8}

questo perché la tartaruga percorre sempre la metà del percorso fatto da Achille.

Si ha quindi la seguente tabella che schematizza la strada di Achille e quella della tartaruga:

                                            Achille Tartaruga
Tempo 0                                 0 \cfrac{1}{2}
Tempo 1                                 \cfrac{1}{2} \cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{4}=\cfrac{3}{4}
Tempo 2                                 \cfrac{3}{4} \cfrac{3}{4}+\cfrac{1}{8}=\cfrac{7}{8}

Quindi per Achille si ha la seguente serie numerica:

0+\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{4}+\cfrac{1}{8}+...+\cfrac{1}{2^{n}}=\sum_{n=1}^{\infty }\cfrac{1}{2^{n}}

che si può dimostrare che tende ad 1!

analogamente la formula precedente descrive la strada percorsa dalla tartaruga che anch'essa converge ad 1.

Quindi l'errore di Zenone è quello di non considerare che la somma infinita di cifre più piccole di 1 converge ad 1! E quindi Achille raggiunge la tartaruga.

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TEST INGRESSO prima superiore geometria

th1WKOENRL

Test d'ingesso di geometria classi prima superiore

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TEST INGRESSO prima superiore matematica

thWJUVUS6E

Test d'ingesso di matematica classi prima superiore

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INVALSI ON LINE - II superiore - Anno 2014-2015 prova completa

thDS2S2B9I

Test Completo INVALSI seconda superiore completo anno 2014-2015

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INVALSI ON LINE - II superiore - Anno 2013-2014 prova completa

Jacek Yerka

Jacek Yerka

Test Completo INVALSI seconda superiore completo anno 2013-2014

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INVALSI ON LINE - II superiore - Anno 2012-2013 prova completa

thM7BDEPV0

Test Completo INVALSI seconda superiore completo anno 2012-2013

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