Disequazioni frazionarie: introduzione teorica

Igor Morski

Igor Morski

Le disequazioni frazionarie sono indispensabili quando si tratta il segno di funzioni frazionarie. Esse sono utilizzate in molti campi a partire da quello economico come in quello della fisica.

Eccone un esempio:

\cfrac{x-1}{x-2}>0

Per risolverla si deve:

  • studiare il segno del numeratore
  • studiare il segno del denominatore
  • rappresentare le soluzione sulla stessa retta orientata
  • vedere il segno complessivo effettuando il prodotto.

NOTA importante:

nelle disequazioni frazionarie si studia sempre il numeratore maggiore o uguale a zero, il denominatore maggiore o uguale a zero e poi si considera il segno complessivo confrontandolo con il verso della disequazione di partenza.

Per capire il protocollo precedente sviluppo l'esercizio di partenza.

studio il numeratore

N:

x-1>0

x>1

studio il denominatore

D:

x-2>0

x>2

Li rappresento sulla retta orientata

Img333Studio la soluzione:

A destra del due ho una linea continua che significa che tutti i numeri a destra soddisfano il segno di maggiore.

A sinistra invece ho una linea tratteggiata che mi indica che tali numeri mi indicano che la disequazione è negativa.

Adesso noto che - per - fa più ossia in tale zona l'equazione frazionaria è positiva;

La soluzione diventa:

\left [ x<1,x>2 \right ]

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Portare dentro al segno di radice

Igor Morski

Igor Morski

Utilizzando la proprietà che:

\sqrt[n]{a^{n}}=a

posso portare sotto il segno di radice qualunque cifra.

Quindi devo elevare il numero che voglio portare sotto il segno di radice all0 stesso indice della radice per poi mettere il numero e il resto della radicando sotto la stessa radice.

Spero con un esempio di chiarire la cosa.

5\cdot \sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{5^{3}}\cdot \sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{5^3\cdot 2}=\sqrt[3]{125\cdot 2}=\sqrt[3]{250}

 

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Portare fuori dal segno di radice

Jacek Yerka

Jacek Yerka

La prima cosa è effettuare la scomposizione del numero posto all'interno della radice, poi lo si scompone in maniera tale da avere l'esponente del radicando uguale all'indice della radice in maniera poi da portare fuori dal segno di radice il numero stesso.

Con un esempio spero di chiarire la cosa.

Calcolare:

\sqrt{8}

scompongo l'8:

\begin{matrix} 8 &|  &2 \\ 4 &|  &2 \\ 2 &|  &2\\ 1 &&\\ \end{Matrix}

ossia 8=2^3=2^2 \cdot 2

\sqrt{8}=\sqrt[2]{8}=\sqrt[2]{2^3}=\sqrt[2]{2^2\cdot 2}=\sqrt[2]{2^2}\cdot \sqrt[2]{2}=\sqrt[\not{2}]{2^{\not{2}}}\cdot \sqrt[2]{2}=2\cdot \sqrt[2]{2}

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Esercizi sul punto medio di un segmento

Kevin Corrado

Kevin Corrado

Per sviluppare questi esercizi consiglio di leggere il post sul punto medio di un segmento

Determina il punto medio del segmento AB, di estremi A e B.

La difficoltà è indicata con la cifra progressiva con 6 il più immediato e 10 il più complesso.

6.1. A\left ( -1,2 \right ),B\left ( 3,4 \right ) \left [ \left ( 1,3 \right ) \right ]
6.2. A\left ( -1,0 \right ),B\left ( -4,0 \right ) \left [ \left ( -\cfrac{5}{2},0 \right ) \right ]
6.3. A\left ( 1,-8 \right ),B\left ( 1,-3 \right ) \left [ \left (1,-\cfrac{11}{2} \right ) \right ]
6.4. A\left ( 2,-1 \right ),B\left (- 1,2 \right ) \left [ \left (\cfrac{1}{2},\cfrac{1}{2} \right ) \right ]
6.5. A\left ( 3,-2 \right ),B\left ( -1,-2 \right ) \left [ \left ( 1,-2 \right ) \right ]
6.6. A\left (-2,1 \right ),B\left ( 4,5 \right ) \left [ \left ( 1,3 \right ) \right ]
7.1. A\left ( 1-\sqrt{3},4 \right ),B\left ( 1+\sqrt{3},6 \right ) \left [ \left ( 1,5 \right ) \right ]
7.2. A\left ( -\sqrt{5},-\sqrt{3} \right ),B\left ( \sqrt{5},3\sqrt{3} \right ) \left [ \left (0,\sqrt{3} \right ) \right ]

 

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Punto medio di un segmento

Kevin Corrado

Kevin Corrado

Siano A(x_{1},y_{1}) e B(x_{2},y_{2})due punti del piano cartesiano e M il punto medio (è quel punto che divide in due parti uguali) del segmento AB.

L'ascissa di M è la media aritmetica delle ascisse di A e B e l'ordinata di M è la media aritmetica delle ordinate di A e B; in simboli

M\left ( \cfrac{x_{1}+x_{2}}{2},\cfrac{y_{1}+y_{2}}{2} \right )

ESEMPIO

Determinare il punto medio del segmento di estremi A\left ( -2,3 \right ) e B\left ( 4,-1 \right ).

Meglio sempre scrivere:

x_{1}=-2,y_{1}=3

x_{2}=4,y_{2}=-1

Applicando la definizione precedente il punto medio risulta:

x_{M}=\cfrac{-2+4}{2}=1

y_{M}=\cfrac{3-1}{2}=1

M\left ( 1,1 \right )

 

Per esercitarsi

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Soluzioni sistemi di disequazione

ima

Catrin-Welz-Stein

6.1. \left\{\begin{matrix} x-3>0\\x-2>0 \end{matrix}\right.

Risolvo le singole disequazioni finchè non mi trovo l'incognita a sinistra e la cifra a destra:

\left\{\begin{matrix} x>3\\ x>2 \end{matrix}\right.

Per trovare la soluzione si deve passare per la rappresentazione grafica:

sol1e la soluzione è

x>3

Si noti che nella rappresentazione grafica della soluzione il valore di "confine " viene indicato con un pallino vuoto perché non vi è il simbolo di uguale nella disequazione di partenza.

6.2. \left\{\begin{matrix} x-5<0\\x-6>0 \end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix} x<5\\ x>6 \end{matrix}\right.

La rappresentazione grafica è:

sol2e si nota che la linea continua non si sovrappone mai per cui la soluzione è l'insieme vuoto e si indica appunto:

S=\varnothing

6.4. \left\{\begin{matrix} 2x-3\geq 0\\3x-10\leq 0 \end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix} 2x\geq 3\\3x\leq 10 \end{matrix}\right.

 \left\{\begin{matrix} \cfrac{1}{2}\cdot 2x\geq 3\cdot \cfrac{1}{2}\\\cfrac{1}{3}\cdot 3x\leq 10\cdot \cfrac{1}{3} \end{matrix}\right.

 \left\{\begin{matrix} \cfrac{1}{\not{2}}\cdot \not{2}x\geq 3\cdot \cfrac{1}{2}\\\cfrac{1}{\not{3}}\cdot \not{3}x\leq 10\cdot \cfrac{1}{3} \end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix} x\geq \cfrac{3}{2}\\x\leq \cfrac{10}{3} \end{matrix}\right.

Bisogna adesso rappresentare la soluzione:

spl3e si nota che la soluzione è compresa tra le due frazioni e si scrive:

\cfrac{3}{2}\leq x\leq \cfrac{10}{3}

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Esercizi sui sistemi di disequazione

Per th0JL7QJCFrisolvere i sistemi di disequazione è sufficiente essere in grado di risolvere le disequazioni lineari e ricordarsi che la soluzione viene data dalla regione in cui entrambe contemporaneamente risolvono le rispettive disequazioni di partenza.

Per un livello minimo (6)

6.1. \left\{\begin{matrix} x-3>0\\x-2>0 \end{matrix}\right. \left [ x>3 \right ]
6.2. \left\{\begin{matrix} x-5<0\\x-6>0 \end{matrix}\right. \left [ S=\varnothing  \right ]
6.3. \left\{\begin{matrix} 5x-8>0\\3x-9>0 \end{matrix}\right. \left [ x>3 \right ]
6.4. \left\{\begin{matrix} 2x-3\geq 0\\3x-10\leq 0 \end{matrix}\right. \left [ \cfrac{3}{2}\leq x\leq \cfrac{10}{3} \right ]
6.5. \left\{\begin{matrix} 2-3x> 0\\3-2x\geq  0 \end{matrix}\right. \left [ x<\cfrac{2}{3} \right ]
6.6. \left\{\begin{matrix} 2x-5 \geq 0\\7-2x>  0 \end{matrix}\right. \left [ \cfrac{5}{2}\leq x<\cfrac{7}{2} \right ]
6.7. \left\{\begin{matrix} 3x-4> 0\\5x-8>0 \end{matrix}\right. \left [ x>\cfrac{8}{5} \right ]
6.8. \left\{\begin{matrix} 7x-5< 0\\4x+1<0 \end{matrix}\right. \left [ x<-\cfrac{1}{4} \right ]
6.9. \left\{\begin{matrix} 3x+4> 0\\4x-5<0 \end{matrix}\right. \left [ -\cfrac{4}{3}<x<\cfrac{5}{4} \right ]

Per un livello discreto (7)

 7.1. \left\{\begin{matrix} \cfrac{x-2}{3}+x<1\\2x-3<\cfrac{2x+1}{4} \end{matrix}\right.  \left [ x<\cfrac{5}{4} \right ]
7.2. \left\{\begin{matrix} 3+\cfrac{1-x}{3}>-\cfrac{x+1}{2}\\ \cfrac{1-x}{5}>1 \end{matrix}\right. \left[-23<x<-4\right]
7.3. \left\{\begin{matrix} \cfrac{5x+1}{3}>3+\cfrac{x+3}{4}\\ \cfrac{5x-4}{3}-\cfrac{1-2x}{6}>0 \end{matrix}\right. \left [ x>\cfrac{41}{17}\right ]

Per un buon livello (8)

8.1. \left\{\begin{matrix} 3x-1>0\\x-3\leqslant  0 \\ 2x+2\geqslant 0 \end{matrix}\right.  \left [ \cfrac{1}{3}<x\leqslant 3 \right ]
8.2. \left\{\begin{matrix} 3-4x\leqslant 0\\ 2-x>0\\5x-3\geqslant 0 \end{matrix}\right. \left [ \cfrac{3}{4}\leqslant x<2 \right ]
8.3. \left\{\begin{matrix} 5x-1\geqslant 0\\2-3x>0 \\ 4x-3\leqslant 0 \end{matrix}\right. \left [ \cfrac{1}{5}\leqslant x< \cfrac{2}{3} \right ]
8.4. \left\{\begin{matrix} 4-5x\leqslant 0\\2x-3<0 \\5-7x>0 \end{matrix}\right. \left[S=\varnothing\right]
8.5. \left\{\begin{matrix} x+2>3\\2x-1>x+5 \\ x<2x+4 \end{matrix}\right. \left [ x>6 \right ]
8.6. \left\{\begin{matrix} 3\left ( x+3 \right )-2\left ( x-1 \right )>12\\ 3x-2>2\left ( x-1 \right )+3\\x-3\left ( x+2 \right )<2x-2 \end{matrix}\right. \left [ x>3 \right ]

Verso un ottimo livello (9/10)

9.1. \left\{\begin{matrix} 3-4x\leqslant 0\\10-13x>0 \\9x-7<0 \\ 5x-4\leqslant 0 \end{matrix}\right. \left [ \cfrac{3}{4}\leqslant x<\frac{10}{13} \right ]
9.2. \left\{\begin{matrix} 2x+2\geqslant 3x\\3x-1<4+x \\ 3x+1\geqslant 2x+3\\2-x<0 \\2x-1<x+3 \end{matrix}\right.  \left[S=\varnothing\right]

Soluzioni

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Test sulle derivate: massimi e minimi relativi

thTutti i seguenti quiz possono essere affrontati dopo aver compreso come effettuare le derivate, conoscere le disequazioni e le equazioni di primo e secondo grado.

Per verificare la propria preparazione nell'applicazione delle derivate nel trovare i massimi e minimi di una funzione per un livello SUFFICIENTE (6)

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Per verificare la propria preparazione nell'applicazione delle derivate nel trovare i massimi e minimi di una funzione per un livello DISCRETO (7)

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Per verificare la propria preparazione nell'applicazione delle derivate nel trovare i massimi e minimi di una funzione per un livello BUONO (8)

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Per verificare la propria preparazione nell'applicazione delle derivate nel trovare i massimi e minimi di una funzione per un livello QUASI OTTIMO (9)

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Per verificare la propria preparazione nell'applicazione delle derivate nel trovare i massimi e minimi di una funzione per un OTTIMO livello (10)

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Il concetto di probabilità

th3IYYDQ5QLa probabilità di un evento è la misura del grado di fiducia che una persona ha nel verificarsi dell'evento.

La definizione formale è la seguente:

la probabilità di un evento aleatorio, previsto da una determinata prova, è data dal rapporto tra il numero dei casi favorevoli all'evento (cioè il numero dei modi diversi di realizzarsi dell'evento) e il numero dei casi possibili, nell'ipotesi c he i casi siano tutti egualmente possibili.

Algebricamente si ha:

p(E)=\cfrac{m}{n}

dove m è il numero di casi favorevoli ed n è il numero dei casi possibili.

Esempio per capire immediatamente la definizione.

Es1.

si calcoli la probabilità che lanciando un dado esca:

  1. il numero 6
  2. un numero dispari
  3. un numero compreso tra 1 e 6
  4. il numero 8.

Svolgimento:

Per prima cosa si debba considerare lo spazio degli eventi:

U=\left \{ 1,2,3,4,5,6 \right \}

i cui eventi sono i sei casi possibili possibili.

I casi favorevoli sono:

a. uno in quanto l'evento si realizza in un solo modo (uscita del numero 6), per cui la probabilità è

P(uscita.del.numero.6)=\cfrac{1}{6}

b. tre in quanto l'evento si realizza in tre modi diversi (uscita dell'1, uscita del 3, uscita del 5), per cui la probabilità è:

P(numero.dispari)=\cfrac{3}{6}=\cfrac{1}{2}

c. sei, in quanto tutti i risultati sono favorevoli, per cui la probabilità vale:

P(numero.compreso.tra.1.e.6)=\cfrac{6}{6}=1

d. zero, per cui la probilità è nulla e l'evento è impossibile.

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Equazioni frazionarie metodo alternativo senza c.a.

th2937YE4PData la seguente equazione frazionaria:

\cfrac{2}{x+3}=\cfrac{1}{x-1}

allora moltiplico prima a sinistra e a destra per \left ( x+3 \right )

e si ha:

\left ( x+3 \right )\cdot \cfrac{2}{x+3}=\cfrac{1}{x-1}\cdot \left ( x+3 \right )

 2=\cfrac{1}{x-1}\cdot \left ( x+3 \right )

moltiplico a sinistra e a destra per \left ( x-1 \right )

\left ( x-1 \right )\cdot 2=\cfrac{1}{x-1}\cdot \left ( x+3 \right )\cdot \left ( x-1 \right )

\left ( x-1 \right )\cdot 2= \left ( x+3 \right )

sviluppo la moltiplicazione

2x-2=x+3

2x-x=3+2

x=5

non avendo studiato l campo d'accettabilità devo valutare se la soluzione è accettabile o meno; questo significa che se mi dovessi trovare nella situazione \cfrac{A}{0} ossia con un denominatore nullo a prescindere dal valore numerico la soluzione NON è accettabile.

Sostituisco nell'equazione di partenza il 5 e si ha:

\cfrac{2}{5+3}=\cfrac{1}{5-1}

\cfrac{2}{8}=\cfrac{1}{4}

\cfrac{1}{4}=\cfrac{1}{4}

ed essendo un'identità e non ricadendo nel caso di soluzione non accettabile effettivamente x=5 è la soluzione.

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