TPSIT: Prima equazione di Maxwell

La teoria del campo elettromagnetico è sintetizzata in quattro leggi. Esse sono chiamate equazioni di Maxwell poiché fu Maxwell che, oltre a formulare la quarta legge, comprese che esse costituiscono il fondamento essenziale della teoria delle iterazioni elettromagnetiche.

La prima equazione di maxwell è la legge di Gauss per il campo elettrico.

Oltre che esprimerla in forma integrale:

\oint \vec{E}\cdot \vec{u}dS=\cfrac{q}{\epsilon _{0}}

si può esprimere in forma differenziale.

E\cdot dS=E\cdot dy\cdot dz.

Considerando una variazione infinitesima di campo elettrico lungo una direzione la relazione precedente diventa:

\cfrac{\delta E}{\delta x}\cdot dx\cdot dy\cdot dz=\cfrac{\delta E}{\delta x}\cdot dV

Considerando le tre dimensioni e derivando la relazione iniziale:

\left (\oint \vec{E}\cdot \vec{u}dS \right )^{'}=\cfrac{dq}{\epsilon _{0}}

si ha:

\left ( \cfrac{\delta E_{x}}{\delta x}+ \cfrac{\delta E_{y}}{\delta y}+\cfrac{\delta E_{z}}{\delta z}\right )dV=\cfrac{dq}{\varepsilon _{0}}

ossia:

\cfrac{\delta E_{x}}{\delta x}+ \cfrac{\delta E_{y}}{\delta y}+\cfrac{\delta E_{z}}{\delta z}=\cfrac{\varrho }{\varepsilon _{0}}

con \varrho densità di carica volumetrica.

In termini matematici si può scrivere:

\nabla\cdot \vec{E}=\cfrac{\varrho }{\varepsilon _{0}}

ossia la divergenza del vettore campo elettrico è uguale alla densità di carica volumetrica divisa la costante dielettrica nel vuoto.

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