TPSIT: Legge di Gauss per il campo elettrico

Si consideri una carica puntiforme $q$ e si calcoli il flusso del campo elettrico $E$ da essa prodotta attraverso una superficie sferica avente il centro coincidente con la carica.

Il flusso, in generale, è il calcolo della quantità che attraversa una superficie chiusa.

Si divide la superficie in superfici molto piccole (o infinitesime) di aree $dS_{1}$ , $dS_{2}$ , $dS_{3}$ ,…Su ciascuna di esse si può disegnare un vettore unitario $u_{1}$ , $u_{2}$ , $u_{3}$ ,…perpendicolare alla superficie in quel punto.

Siano $\theta _{1}$ , $\theta _{2}$ , $\theta _{3}$ ,… (theta) gli angoli tra i vettori normali $u_{1}$ , $u_{2}$ , $u_{3}$ ,…e i vettori del campo $V_{1}$ , $V_{2}$ , $V_{3}$ ,… in ogni punto della superficie.

Allora il flusso $\phi$ del campo vettoriale $\vec{V}$ attraverso la superficie S è:

$\theta =V_{1}dS_{1}cos\theta _{1}+V_{2}dS_{2}cos\theta _{2}+V_{3}dS_{3}cos\theta _{3}+...$

sapendo che $V\cdot \cos \theta =\vec{V}\cdot \vec{u}$
il flusso può essere scritto come:
$\phi =\vec{V_{1}}\cdot \vec{u_{1}}dS_{1}+\vec{V_{2}}\cdot \vec{u_{2}}dS_{2}+\vec{V_{3}}\cdot \vec{u_{3}}dS_{3}+...$

ma sapendo cheil prodotto di una base per un’altezza mi fornisce proprio un integrale la realazione precedente può essere scritta come:
$\phi = \oint V\cos \theta dS=\oint \vec{V}\cdot \vec{u}dS$
dove il segno di circoletto sull’integrale significa che è superficie chiusa.

Tutta questa premessa è servita per applicarla al campo elettrico.

Si calcola il flusso del campo elettrico attraverso una superficie sferica.

$\vec{E}=\frac{q}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}\vec{u}$

Il vettore unitario normale ad una sfera coincide con il vettore unitario $\vec{u}$ lungo la direzione radiale .

Perciò l’angolo $\theta$ fra il campo elettrico e il vettore unitario normale è nullo e $\cos \theta =1$ .

Il campo elettrico ha lo stesso valore in tutti i punti della superficie sferica e che l’area della sfera è $4\pi r^{2}$ .

Il valore del flusso del campo elettrico risulta:

$\phi =\oint EdS=E\oint dS=E\cdot S=\cfrac{q}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}\cdot \left ( 4\pi r^{2} \right )$

concludendo

$\phi =\cfrac{q}{\epsilon _{0}}$

La legge di Gauss è particolarmente utile quando si vuole calcolare il campo elettrico prodotto da distribuzioni di carica aventi determinate simmetrie geometriche ad esempio piastre, sfere, o fili percorsi da corrente.

TPSIT: Legge di Gauss per il campo elettrico

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