Esercizi sulla derivata di un polinomio

Giacomo Balla – “Noi quattro allo specchio”

Questi esercizi sono utili per prendere mano con la derivata di un polinomio:

Si calcoli la derivata di:

1) y=7x^{3}+6x^{2}+2x+4.

il passaggio è molto semplice.
il coefficiente dell’esponente si abbassa e si moltiplica con il coefficiente della base ossia ho:

y'=7\cdot3x^{3-1}+6\cdot2x^{2-1}+2\cdot1x^{1-1}.

y'=21x^{2}+12x+2.

2) y=\cfrac{1}{3}x^{3}+\cfrac{1}{2}x^{2}+x+4.

3) y=x^{8}+7x^{3}+6x^{2}+100.

4) y=5x^{5}+3x^{4}+2x^{10}+6x^{5}+0.

La regola:

y=x^{n}.

y'=nx^{n-1}.

può essere generalizzata al seguente caso.

Calcolare la derivata di

y=\sqrt{x}.

si deve pensare che la radice quadrata di un numero è il numero elevato alla frazione corrispondente; il numeratore sarà sempre uno ma al denominatore avrò il grado della derivata.

APPROFONDIMENTI SULLA RADICE N-ESIMA DI UN NUMERO O LETTERA

Nel caso specifico:

y=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}.

ancora:

y=\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}.

che generalizzando diventa:

y=\sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}}.

Adesso torno alla derivata prima:

y'=\cfrac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}=\cfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}.

APPROFONDIMENTO SUGLI ESPONENTI NEGATIVI

quando si mette un esponente negativo è equivalente a scrivere il numero in termini frazionari ossia:

2^{-4}=\cfrac{1}{2^{4}}.

che generalizzando diventa:

a^{-n}=\cfrac{1}{a^{n}}.

Tornando alla mia derivata cosa si ha?

y'=\cfrac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}=\cfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\cfrac{1}{2}\cdot\cfrac{1}{x\frac{1}{2}}=\cfrac{1}{2\sqrt{x}}.

About Francesco Bragadin

Insegno informatica, matematica e fisica. Ho terminato gli studi di ingegneria presso l'Università di Padova nel 1990 e mi occupo di analisi di reti, sviluppo siti web, applicazioni di app nell'ambito matematico.
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