La gaussiana normalizzata ha equazione:
Essa ha simmetria proprio nel valor medio 
.
Il suo grafico varia al variare della deviazione standard. Questa figura chiarisce il concetto:
Essa è una densità di probabilità ed effettuando la sua integrazione trovo proprio la distribuzione di probabilità che fornisce la probabilità che un evento possa accadere in un intervallo.
In pratica:
![P\left [ a \leqslant x\leqslant b \right ]=F_{x}(b)-F_{x}(a)=\int_{a}^{b}\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}e^-{\frac{\left ( x-\mu \right )^{2}}{2\sigma ^{2}}}dx](https://www.whymatematica.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a128854181bba5dd874d5fddbf883593_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Il calcolo di questo integrale non è banale e si preferisce calcolare l’integrale della stessa curva ma traslata nell’origine, standardizzandola ,ponendo:
La gaussiana normalizzata standard avrà equazione:
con media nulla ossia 
e deviazione standard unitaria 
Questo disegno chiarisce la cosa:
In generale:
e per calcolare l’integrale in un opportuno intervallo si usa una tabella standard che lo calcola.
Ad esempio:
osservando la tabella allegata:
si deve trovare la riga corrispondente al valore 
e si nota che alla colonna 0.00 il valore è 0,8413.
Significa che la probabilità che un evento sia minore di 1 vale esattamente 84,13%.
Se avessi dovuto calcolare
mi sarei posto sempre sulla riga dell’1 ma alla colonna 0,01 e la probabilità sarebbe stata 0,8438 ossia in percentuale 84,38.
Ricapitolando la riga mi fornisce il valore della 
per un il valore intero seguito da un decimale e la colonna mi fornisce il valore corrispondente a partire dal secondo decimale.
Passaggio dalla gaussiana normalizzata a quella standard attraverso la tabella fornita
Ma se un evento ha media 
e deviazione standard 
come faccio a collegarla alla gaussiana standard?
Devo calcolare la probabilità che il mio evento sia sempre minore di 3.
Allora dalla relazione:
andando a vedere la tabella si vede che vale 0,10 ossia il circa il 10%.