NSA – la derivata – Significato geometrico – Parabola

Umberto Boccioni

Tra gli studenti, quando si afferma che si stanno studiando le derivate sembra quasi che si sia arrivato all’empireo della matematica… con tutti i rischi annessi e connessi: vertigine, onnipotenza e perché no, un senso di grande frustrazione per chi non le capisce.

Il mio scopo è quello di trasmettere il motivo per il quale è stata introdotta ed utilizzata.

Si sappia che è stata introdotta per la prima volta in India nel XII secolo per poi lentamente espandersi anche nel mondo occidentale verso il XVI secolo.

Ma cos’è la derivata?

LA DERIVATA MI INDICA DI QUANTO E’ INCLINATA LA RETTA TANGENTE AD UNA QUALUNQUE CURVA

Tale definizione deve sempre essere presente e permette di capire perchè è fondamentale il suo utilizzo nello studio di funzione.

Prendo la seguente curva:

y=x^{2}.

E’ una parabola con vertice coincidente con l’origine.

Si prenda adesso il punto di coordinate (1+dx; 1+dy) che appartiene alla parabola: la prima coordinata mi indica il valore sull’asse delle ascisse, la seconda il valore sull’asse delle ordinate.

dx significa un valore molto piccolo vicino ad uno

dy è un valore molto vicino a 1 ma sull’asse delle ordinate e sempre appartenente alla parabola.

Adesso sostituisco questo punto all’equazione della parabola:

1+dy = (1+dx)^{2}.

1+dy = 1 +2dx+dx^{2}.

1 e 1 si eliminano e rimane

dy = 2dx+dx^{2}.

divido tutti per dx a destra e sinistra

\cfrac{dy}{dx} = 2 +dx

Ora \cfrac{dy}{dx} lo indico con il simbolo y’

y’ = 2 + dx.

dx è così piccolo che posso pensarlo nullo.

Quindi:

y’=2

2 è proprio il valore del coefficiente angolare della retta passante per il punto di coordinate (1;1) e quindi per la definizione data precedentemente è proprio la derivata prima!

Per arrivare alla generalizzazione applico il procedimento precedente per un altro punto.

Prendo il punto di coordinate (2+dx;4+dy)  appartenente alla parabola e lo sostituisco nell’equazione.

4+dy = (2+dx)^{2}.

4+dy = 4 +4dx+dx^{2}.

i 4 si eliminano e rimane

dy=4dx+dx^{2}

divido tutto per dx ed ho:

\cfrac{dy}{dx} = 4 + dx

dx è piccolo e il coefficiente angolare della retta tangente nel punto di coordinate (2;4) vale 4.

Generalizzando (x+dx;y+dy)

y+dy = x^{2} + 2xdx+dx^{2}.

ma

y = x^{2}.

e sostituendola si ha:

x^{2} +dy = x^{2} +2xdx+dx^{2}.

Le x^{2} si eliminano e divido tutto per dx

\cfrac{dy}{dx}=2x+dx

y’ = 2x

che è proprio la derivata prima di:

y=x^{2}

Über Francesco Bragadin

Insegno informatica e telecomunicazioni al liceo scienze applicate ed all'indirizzo informatica e telecomunicazioni. Ho terminato gli studi in ingegneria elettronica e telecomunicazioni lavorando per molti anni come libero professionista nell'ambito della gestione storage e disaster recovery su mainframe.
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2 Antworten zu NSA – la derivata – Significato geometrico – Parabola

  1. michines sagt:

    penso che una spiegazione grafica potrebbe aiutare molto.

    • Francesco Bragadin sagt:

      La rappresentazione grafica parte dalla rappresentazione della parabola con vertice nell’origine. Poi si prenda il punto di coordinate (1;1) e si effettua un incremento della x e della y. Ci si accorge che seguendo tale procedimento si evita il concetto di rapporto incrementale.

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