Maturità 2017: decimo quesito

Samy Charnine

Data la funzione

(1)   \begin{equation*} f(x)=\left | 4-x^{2} \right | \end{equation*}

verificare che essa non soddisfa tutte le ipotesi del teorema di Rolle nell'intervallo [-3;3] e che comunque esiste almeno un punto dell'intervallo [-3;3] in cui la derivata prima f(x) si annulla. Questo esempio contraddice il teorema di Rolle? Motivare la risposta in maniera esaustiva.

Prerequisiti

  • conoscere il teorema di Rolle
  • saper fare il grafico di una funzione con il modulo
  • saper fare il grafico di una conica in maniera veloce

Sviluppo

Teorema di Rolle
Data una funzione f(x) definita in un intervallo limitato e chiuso [a;b] con le seguenti proprietà:

  • f(x) è continua in [a;b],
  • f(x) è derivabile in [a;b],
  • f(a)=f(b),

Sviluppo la funzione (1)

la applico:

(2)   \begin{equation*} \left | 4-x^2 \right |=\left\{\begin{matrix} 4-x^2 & 4-x^2 \geqslant 0\\ -(4-x^2) & 4-x^2<0 \end{matrix}\right. \end{equation*}

essa rappresenta due parabole con intersezioni con l'asse x che valgono +2 e -2.
Il grafico è infatti:

Il teorema di Rolle non è soddisfatto in quanto in -2 ed in 2 la funzione non è derivabile e sono due punti all'intervallo dell'intervallo [-3;3].
Non sono punti di derivabilità in quanto punti angolosi.

Ma se restringo l'intervallo, ad esempio[-1;1] il teorema di Rolle è perfettamente applicabile.
Infatti f(1)=f)-1) e tutte le altre condizioni dono soddisfatte.

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