Maturità 2017: settimo quesito

Alex Alemany

Determinare le coordinate dei centri delle sfere di raggio $\sqrt{6}$ tangenti sl piano $\pi$ di equazione:

(1) $\begin{equation*} x+2y-z+1=0 \end{equation*}$

nel suo punto $P$ di coordinate (1,0,2).

Prerequisiti

conoscere l’equazione della sfera nello spazio
conoscere la formula che esprime la distanza di un punto da un piano
conoscere l’equazione della retta passante per un punto e perpendicolare ad un piano
conoscere la condizione di appartenenza di un punto ad una retta

Sviluppo

L’equazione di una retta passante per un punto in forma parametrica è:

(2) $\begin{equation*} \left\{\begin{matrix} x=x_{0}+lt \\ y=y_{0}+mt\\ z=z_{0}+nt \end{matrix}\right. \end{equation*}$

$l$ , $m$ , $n$ , rappresentano le coordinate del vettore direzione $v(l,m,n)$ ossia quello parallelo alla retta.

L’equazione generale di un piano ha equazione:

(3) $\begin{equation*} ax+by+cz+d=0 \end{equation*}$

i coefficienti $a$ , $b$ e $c$ rappresentano le coordinate del vettore perpendicolare al piano.

Unendo queste due richiami teorici la retta passante per $P(1,0,2)$ e perpendicolare al piano $\pi: x+2y-z+1=0$ in forma parametrica è:

(4) $\begin{equation*} \left\{\begin{matrix} x=1+t \\ y=2t\\ z=2-t \end{matrix}\right. \end{equation*}$

La formula della sfera è:

(5) $\begin{equation*} \left ( x-\alpha \right )^2+\left ( y-\beta \right )^2+\left ( z-\gamma \right )^2=r^{2} \end{equation*}$

con $C\left ( \alpha ,\beta ,\gamma \right )$ centro della sfera ed $r$ raggio della sfera.

applicandola si ha:

(6) $\begin{equation*} \left ( x-\alpha \right )^2+\left ( y-\beta \right )^2+\left ( z-\gamma \right )^2=6 \end{equation*}$

Adesso richiamo la formula della distanza di un punto da un piano:

(7) $\begin{equation*} d=\cfrac{\left | ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d \right |}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} \end{equation*}$

con $a,b,c$ i coefficienti del piano (3) e $P(x_{0},y_{0},z_{0})$ il punto P di cui si vuole conoscere la distanza dal piano stesso.

Applicandola sapendo che la distanza tra il centro $C\left ( \alpha ,\beta ,\gamma \right )$ e il piano $\pi: x+2y-z+1=0$ vale $\sqrt{6}$ :

(8) $\begin{equation*} d=\cfrac{\left | \alpha \cdot 1+\beta \cdot 2+\gamma \cdot -1 +1 \right |}{\sqrt{1+4+1}}}=\sqrt{6} \end{equation*}$

Il centro $C\left ( \alpha ,\beta ,\gamma \right )$ appartiene alla retta trovata (4) per cui essa diventa:

(9) $\begin{equation*} \left\{\begin{matrix} \alpha =1+t \\ \beta =2t\\ \gamma=2-t \end{matrix}\right. \end{equation*}$

adesso esprimo $t$ in funzione delle coordinate del centro

(10) $\begin{equation*} \left\{\begin{matrix} t=\alpha-1 \\ \beta =2\alpha-2\\ \gamma=3-\alpha \end{matrix}\right. \end{equation*}$

Adesso sostituisco i valori trovati nella (8) ed ho:

(11) $\begin{gather*} \cfrac{\left | \alpha+2(2\alpha-2)-3+\alpha+1 \right |}{\sqrt{1+4+1}}=\sqrt{6} \\ \left | 6\alpha -6 \right |=6 \\ \left | \alpha -1 \right |=1 \end{gather*}$

Sapendo che in generale

(12) $\begin{equation*} \left | x \right |=\left\{\begin{matrix} x & x\geqslant 0\\ -x & x<0 \end{matrix}\right. \end{equation*}$

la applico:

(13) $\begin{equation*} \left | \alpha -1 \right |=\left\{\begin{matrix} \alpha -1 & \alpha \geqslant 1\\ -\alpha +1 & \alpha <1 \end{matrix}\right. \end{equation*}$