Maturità 2017: secondo quesito

Andrea Wan

Una torta di forma cilindrica è collocata sotto una cupola di plastica di forma semisferica. Dimostrare che la torta occupa meno dei 3/5 del volume della semisfera.

Prerequisiti

conoscere il volume del cilindro e della sfera
trigonometria e disequazioni trigonometriche
studio di funzione

Sviluppo

(1) $\begin{equation*} V_{torta}<\cfrac{3}{5}\cfrac{V_{sfera}}{2} \end{equation*}$

Schematizzo il problema in questa maniera:

(2) $\begin{gather*} \pi r^{2} h<\cfrac{3}{5}\cdot \cfrac{4}{3}\cdot \cfrac{1}{2}\pi R^{3} \\ r^{2} h<\cfrac{2}{5}R^{3} \end{gather*}$

(3) $\begin{gather*} h=R\sin \alpha \\ r=R\cos \alpha \\ \end{gather*}$

sostituendo questo nella (2) devo dimostrare che:

(4) $\begin{gather*} R^{2}\cos^{2} \alpha \cdot R\sin \alpha < \cfrac{2}{5}R^{3} \\ \cos^{2} \alpha \cdot \sin \alpha < \cfrac{2}{5}\\ \left ( 1-\sin ^{2}\alpha \right )\cdot \sin \alpha < \cfrac{2}{5}\\ \sin \alpha -\sin ^{3}\alpha -\cfrac{2}{5}< 0 \end{gather*}$