Geometria nello spazio: esercizio 1

Guido Borelli

Data la sfera di centro C(2,-3,0) e raggio 2 determinare le equazioni dei due piani tangenti e paralleli al piano 3x-y+z=0

Svolgimento

Essendo piano paralleli al piano dato soddisferanno alla relazione

\cfrac{3}{a}=-\cfrac{1}{b}=\cfrac{1}{c}

a=-3b

c=-b

L'equazione del piano diventa:

-3bx+by-bz+d=0

Adesso pongo la distanza tra il centro della sfera e i piani uguale alla lunghezza del raggio

r=\cfrac{\left |ac_^{x}+bc_{y}+cc_{z}+d  \right |}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}

sostituendo adesso i valori numerici si ha:

r=\cfrac{\left |-3b\cdot 2-3b+d  \right |}{\sqrt{9b^{2}+b^{2}+b^{2}}}=2

r=\cfrac{\left |-9b+d  \right |}{\sqrt{11b^{2}}}=2

Essendovi il modulo avrò le seguenti due equazioni

-9b+d=2b\sqrt{11} che ha come soluzione

d=b(2\sqrt{11}+9)

e

9b-d=2b\sqrt{11}

d=b(-2\sqrt{11}+9)

Le equazioni dei piani sono quindi:

-3x+y-z+2\sqrt{11}+9=0

-3x+y-z-2\sqrt{11}+9=0

Graficamente si ha:

 

 

 

 

 

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