Geometria nello spazio: esercizio 3

Paul Klee

Data la retta di equazione:

\left\{\begin{matrix} x=t\\ y=2t\\ z=t \end{matrix}\right.

e la retta di equazione:

\left\{\begin{matrix} x+y+z-3=0\\ 2x-y=0 \end{matrix}\right.

ed il punto P(1,0,-2)

determinare l'equazione del piano passante per P e parallelo alle due rette.

Svolgimento

Perché esista tale piano le due rette devono essere complanari ed affinché che tale condizione sia soddisfatta è necessario che si intersechino in un punto.

E' sufficiente determinare il valore di t sostituendo le coordinate nella seconda retta:

\left\{\begin{matrix} t+2t+t-3=0\\ 2t-2ty=0 \end{matrix}\right.

t=\cfrac{3}{4}

ed il punto di intersezione esiste e vale:

T\left ( \cfrac{3}{4},\cfrac{3}{2},\cfrac{3}{4} \right )

Adesso trovando il piano che contiene le due rette posso determinare poi quello parallelo passante per il punto P.

Per determinare il piano che contiene le due rette è sufficiente prendere due punti di una retta ed un terzo dell'altra e trovare il piano passante per questi tre punti.

A(0,0,0) con t=0 e B(1,2,1) con t=1 appartengono alla prima retta mentre C(0,0,3) appartiene alla seconda retta.

Adesso sostituendo questi punti all'equazione generica del piano cartesiano

ax+by+cz+d=0

devo

\left\{\begin{matrix} d=0\\ a+2b+c=0\\ 3c+d=0 \end{matrix}\right.

che risolto dà:

\left\{\begin{matrix} d=0\\ c=0\\ a=-2b \end{matrix}\right.

L'equazione del piano diventa:

-2bx+by=0

divido per b

-2x+y=0

Adesso trovo il piano passante per il punto P

a-2c+d=0

e pongo la condizione che deve esser parallelo a quello appena trovato ossia

-\cfrac{2}{a}=\cfrac{1}{b}=\cfrac{0}{c}

-2b=a

c=0

d=2b

e l'equazione del piano passante per P e parallelo alle due rette ha equazione:

-2x+y+2=0

 

Info su Francesco Bragadin

Insegno informatica e telecomunicazioni al liceo scienze applicate ed all’indirizzo informatica e telecomunicazioni. Ho terminato gli studi in ingegneria elettronica e telecomunicazioni lavorando per molti anni come libero professionista nell’ambio della gestione storage e disaster recovery nell’ambito bancario.

Questa voce è stata pubblicata in Senza categoria. Contrassegna il permalink.

Lascia un commento

Il tuo indirizzo email non sarà pubblicato. I campi obbligatori sono contrassegnati *