Posizione reciproca tra piani

Dati due piani:

ax+by+cz+d=0

a'x+b'y+c'z+d'=0

PIANI PARALLELI

Quando le componenti del vettore v_{\perp } e v'_{\perp } sono uno combinazione lineare dell'altro.

Ossia:

a=\alpha a'

b=\alpha b'

c=\alpha c'

in maniera più compatta e semplice:

\cfrac{a}{a'}=\cfrac{b}{b'}=\cfrac{c}{c'}

Ad esempio i piani:

2x-6y+4z+1=0

4x-13y+8z+1=0

sono paralleli come si vede nel grafico:

PIANI PERPENDICOLARI

Quando il prodotto scalare dei vettori v_{\perp } e v'_{\perp } è nullo.

Il prodotto scalare è:

\vec{a}\cdot \vec{b}=\left | \vec{a} \right |\cdot \left | \vec{b} \right |\cdot \cos \vartheta

quando sono perpendicolari \cos \vartheta=0

e quindi la condizione è

a\cdot a'+b\cdot b'+c\cdot c'=0

Ad esempio i piani

2x-4y+2z+5=0

3x+2y+z+1=0

sono perpendicolari infatti

2\cdot 3 -4 \cdot 2 + 2 \cdot 1 =0

e graficamente

 

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