Retta nello spazio

Pubblicato il 31 marzo 2017 da admin

Samy Charnine

Una retta nello spazio è identificata dall’intersezione di due piani, matematicamente parlando dal seguente sistema:

$\left\{ \begin{array}{c} ax+by+cz+d=0 \\ a'x+b'y+c'z+d'=0 \end{array} \right.$

affinchè rappresenti realmente una retta è necessario che siano lineramente indipendenti ossia che:

$a\neq ka'$

$b\neq kb'$

$c\neq kc'$ .

Dato un punto e un vettore direzione equazione della retta in forma implicita

Vettore $v(a;b;c)$

Punto $P\left ( x_{p};y_{p};z_{p} \right )$

L’equazione sarà:

$\cfrac{x-x_{p}}{a}=\cfrac{y-y_{p}}{b}=\cfrac{z-z_{p}}{c}$

se una delle componenti del vettore fosse nulla la relativa coordinata assume il valore uguale a quello del punto.

Esplicito l’affermazione precedente:

Vettore $v(0;b;c)$

Punto $P\left ( x_{p};y_{p};z_{p} \right )$

$\left\{ \begin{array}{c} \cfrac{y-y_{p}}{b}=\cfrac{z-z_{p}}{c} \\ x=x_{p} \end{array} \right.$

Vettore $v(a;0;c)$

Punto $P\left ( x_{p};y_{p};z_{p} \right )$

$\left\{ \begin{array}{c} \cfrac{x-x_{p}}{a}=\cfrac{z-z_{p}}{c} \\ y=y_{p} \end{array} \right.$

Vettore $v(a;b;0)$

Punto $P\left ( x_{p};y_{p};z_{p} \right )$

$\left\{ \begin{array}{c} \cfrac{x-x_{p}}{b}=\cfrac{y-y_{p}}{b} \\ z=z_{p} \end{array} \right.$

Dato un punto e un vettore direzione equazione della retta in forma esplicita

$\left\{ \begin{array}{c} x=x_{p}+at \\ y=y_{p}+bt \\ z=z_{p}+ct \end{array} \right.$

con $t\in \mathbb{R}$

Dati due punti nello spazio determinare l’equazione della retta

$P_{1}(x_{1};y_{1};z_{1})$

$P_{2}(x_{2};y_{2};z_{2})$

$\left\{ \begin{array}{c} x=x_{1}+at \\ y=y_{1}+bt \\ z=z_{1}+ct \end{array} \right.$

con

$a=x_{2}-x_{1}$

$b=y_{2}-y_{1}$

$c=z_{2}-z_{1}$

Determinazione del vettore direzione

Data la retta fornita in questa forma:

$\left\{ \begin{array}{c} ax+by+cz+d=0 \\ a'x+b'y+c'z+d'=0 \end{array} \right.$

i parametri del vettore direzione sono:

$l=\begin{vmatrix} b & c \\ b' & c' \end{vmatrix}$

$m=\begin{vmatrix} a & c \\ a' & c' \end{vmatrix}$

$n=\begin{vmatrix} a & b \\ a' & b' \end{vmatrix}$

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