La derivata: approccio NSA (non standard) – introduzione storica

Se Achille (detto “pie’ veloce”) venisse sfidato da una tartaruga nella corsa e concedesse alla tartaruga un piede di vantaggio, egli non riuscirebbe mai a raggiungerla, dato che Achille dovrebbe prima raggiungere la posizione occupata precedentemente dalla tartaruga che, nel frattempo, sarà avanzata raggiungendo una nuova posizione che la farà essere ancora in vantaggio; quando poi Achille raggiungerà quella posizione nuovamente la tartaruga sarà avanzata precedendolo ancora. Questo stesso discorso si può ripetere per tutte le posizioni successivamente occupate dalla tartaruga e così la distanza tra Achille e la lenta tartaruga pur riducendosi verso l’infinitamente piccolo non arriverà mai ad essere pari a zero.

Questo è uno dei paradossi di Zenone (filosofo greco, 489 – 431 a.c) che ha creato tanti problemi anche all’analisi NSA facendola abbandonare e cadere nell’oblio. Il maggior responsabile è stato George Berkeley (filosofo e teologo inglese – 1685 -1753) (1734) il quale ha affermato che tale teoria fosse contraddittoria; in particolare affermare che gli infinitesimi sono sia uguali a zero che diversi contemporaneamente, è appunto una contraddizione.

Il francese Cauchy (matematico e ingegnere francese 1789- 1857) ed il tedesco  Weierstrass (matematico tedesco – 1815 – 1897) colsero la palla al balzo e cominciarono ad elaborare tutta le teoria dei limiti con il concetto di epsilon piccolo a piacere o di M grande ed il concetto di modulo di funzione; il passo successivo è stato quello di definire il rapporto incrementale e quindi la derivata.

Sfido qualunque liceale a spiegarmi in maniera completa ed esaustiva la teoria di Cauchy e Weierstrass: solo negli studi univeristari si ha il tempo di apprezzarla e di capire che anch’essa ha i suoi pregi ed una pulizia formale molto elevata e sopraffina.

Abraham Robinson

Fortunatamente Abrahm Robinson (matematico polacco- 1918 – 1974) tra il 1960 ed il 1966, riabilita Leibniz (filosofo, matematico tedesco – 1646-1716) e lo stesso Newton (matematico, fisico, alchimista inglese – 1642 – 1727)  affermando:

Se K è un insieme di proposizioni (predicati) tali che ogni sottoinsieme finito K è consistente, allora anche K è consistente.

Ossia grazie a questo teorema viene riabilitata la teoria NSA ma, ancora adesso, negli studi universitari di analisi,  non viene mai citata pur utilizzandola alla grande negli esami successivi di ingegneria.

Voglio ringraziare il Prof. Bonavoglia per avermi fatto scoprire questo approccio all’analisi che spero possa risultare più chiaro e semplice agli studenti che hanno la necessità di apporocciarsi all’analisi attraverso strumenti più empirici che astratti.

About Francesco Bragadin

Insegno informatica, matematica e fisica. Ho terminato gli studi di ingegneria presso l'Università di Padova nel 1990 e mi occupo di analisi di reti, sviluppo siti web, applicazioni di app nell'ambito matematico.
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