Soluzione esercizio su integrale per sostituzione

9.1. $\int \cfrac{1}{\sqrt{9x^{2}-1}}dx$

Effettuo la seguente sostituzione:

(1) $t=3x+\sqrt{9x^{2}-1}$

$t-3x=\sqrt{9x^{2}-1}$

elevo entrambi i membri alla seconda in maniera da non avere più la radice quadrata

$\left (t-3x \right )^{2}=9x^{2}-1$

$t^{2}+9x^{2}-6tx=9x^{2}-1$

$t^{2}-6tx=-1$

$x=\cfrac{t^{2}+1}{6t}$

facendo la derivata a desta e sinistra si ha:

$dx=\cfrac{2t(6t)-6(t^{2}+1)}{36t^2}dt$

(2) $dx=\cfrac{t^{2}-1)}{6t^2}dt$

$\sqrt{9x^{2}-1}=t-3x=t-\cfrac{t^2+1}{6t}$

(3) $\sqrt{9x^{2}-1}=\cfrac{3t^2-3}{6t}$

Adesso sostituendo la (2) e la (3) nell’integrale di partenza si ha:

$\int \cfrac{1}{\cfrac{3t^{2}-3}{6t}}\cdot \cfrac{t^{2}-1}{6t^{2}}dt=\cfrac{1}{3}\int \cfrac{1}{t}dt$

$\cfrac{1}{3}\int \cfrac{1}{t}dt=\cfrac{1}{3}\ln t+k$

e sostituendo la (1) si ha come risultato:

$\cfrac{1}{3}\ln \left | 3x+\sqrt{9x^2-1} \right |+k$

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