Integrale e derivata: moto rettilineo uniforme e moto uniformemente accelerato

Claudio Souza Pinto

Solo attraverso l’utilizzo delle derivate e degli integrali è possibile comprendere le leggi del moto uniformemente accelerato e rettilineo uniforme.

Moto rettilineo uniforme

La velocità istantanea è definita come:

$v=\cfrac{dx}{dt}$

posso scrivere:

$v\cdot dt=dx$

integro da entrambi i lati:

$\int vdt=\int dx$

che è uguale a scrivere:

$v\int dt=\int dx$

$vt + k=x+k^{'}$

che è proprio la legge del moto rettilineo uniforme

$x=x_{0} +vt$

dove con $x_{0}$ ho sommato le due costanti che provengono dall’integrazione.

Moto uniformemente accelerato

l’accelerazione istantanea è definita come:

$a=\cfrac{dv}{dt}$

$a\cdot dt=dv$

integro entrambi i membri:

$\int a\cdot dt=\int dv$

$at+k=v+k^{'}$

$v=v_{0}+at$

ma $v=\cfrac{dx}{dt}$

che sostituita alla precedente su ha:

$\cfrac{dx}{dt}=v_{0}+at$

$dx=\left (v_{0}+at \right )dt$

integro entrambi i membri

$\int dx=\int \left (v_{0}+at \right )dt$

$x+k=v_{0}t+\cfrac{1}{2}t^{2}+k^{'}$

che messa nella forma più conosciuta ho:

$x=x_{0}+v_{0}t+\cfrac{1}{2}t^{2}$

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