Metodo delle secanti o di Lagrange o delle parti proporzionali

Norman Rockwell

Per trovare la soluzione in questo caso, invece che trovare il punto medio, come nel metodo di bisezione, si trova la retta passante per i due punti, per cui vale il teorema di unicità della radice, e si determina il suo punto di intersezione con l’asse delle x.

L’errore o approssimazione è data dalla differenza tra le due intersezioni successive ossia:

\left | x_{n}-x_{n-1} \right |

La retta passante per i due estremi ha equazione:

\cfrac{y-f(a_{0})}{f(b_{0})-f(a_{0})}=\cfrac{x-a_{0}}{b_{0}-a_{0}}

e la sua intersezione vale:

x_{1}=a_{0}-\cfrac{\left ( b_{0}-a_{0} \right )\cdot f(a_{0})}{f(b_{0})-f(a_{0})}

Ecco il metodo ricorsivo per determinare la soluzione:

Data l’equazione f(x)=0, si cerchi un intervallo \left [ a_{0};b_{0} \right ] tale che f\left ( a_{0} \right )\cdot f\left ( b_{0} \right )<0.

  1. Calcolare x_{1}=a_{0}-\cfrac{\left ( b_{0}-a_{0} \right )\cdot f(a_{0})}{f(b_{0})-f(a_{0})}
  2. Calcolare f\left ( x_{1} \right )
  3. Se f\left ( x_{1} \right )=0 allora x_{1} è proprio la soluzione e si termina il ciclo altrimenti si va al passo successivo.
  4. Solo al passo successivo al primo si calcola \left | x_{2}-x_{1} \right |, se risulta minore della precisione voluta, si termina il ciclo uscendo.
  5. Se f\left ( x_{1} \right )\neq 0 si deve scegliere il nuovo intervallo con il seguente criterio:

se f\left ( x_{1} \right )<0 allora a_{1}=x_{1} , b_{1}=b_{0}

se f\left ( x_{1} \right )>0 allora a_{1}=a_{0} , b_{1}=x_{1}

6. Si torna al punto 1 con i nuovi intervalli.

 

Nel caso in cui il segno della derivata seconda mantenesse lo stesso segno (ossia la curva mantenesse la stessa concavità) nell’intervallo trovato, il procedimento si semplifica notevolmente e si ha la seguente ricorsione.

Se f(a_{0})\cdot f^{''}(x)>0

allora

x_{0}=b_{0}

x_{n+1}=x_{n}-\cfrac{a_{0}-x_{n}}{f(a_{0})-f(x_{n})}\cdot f(x_{n})

 

Se f(a_{0})\cdot f^{''}(x)<0

allora

x_{0}=a_{0}

x_{n+1}=x_{n}-\cfrac{b_{0}-x_{n}}{f(b_{0})-f(x_{n})}\cdot f(x_{n})

 

 

 

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