Esercizi sui massimi e minimi

Jim Warren

Per determinare i massimi o i minimi di una funzione si deve:

come premessa sempre prima determinare il dominio della funzione perché potrebbe capitare di trovare un massimo o un minimo ed essere escluso perché all’esterno del dominio.

calcolare la derivata prima
porre a zero la derivata prima per trovare i punti stazionari.
studiare il segno della derivata prima
se la derivata prima è negativa la funzione è decrescente altrimenti crescente
determinati i punti di minimo o massimo si sostituiscono nella funzione di partenza e NON nella derivata prima (ovviamente perché se si facesse di troverebbe 0!) e si trova la relativa ordinata.

Esercizi per un livello base:

6.1. $y=x^3-3x^2+1$	$\left [ x_{M}=0;x_{m}=2 \right ]$
6.2. $y=\cfrac{x^4}{4}-\cfrac{2}{3}x^{3}$	$\left [ x_{m}=2 \right ]$
6.3. $y=x^{3}-2x^{2}+x-4$	$\left [ x_{m}=1; x_{M}=\cfrac{1}{3}\right ]$
6.4. $y=x^{4}+2x$	$\left [ x_{m}=-\cfrac{1}{\sqrt[3]{2}} \right ]$
6.5. $y=\cfrac{1}{5}x^{5}+\cfrac{1}{3}x^{3}$	nessun punto di max o min
6.6. $y=\cfrac{1}{3}x^{3}-2x^{2}+3x-2$	$\left [ x_{M}=1;x_{m}=3 \right ]$
6.7. $y=6x^{5}-10x^{3}$	$\left [ x_{M}=-1;x_{m}=1 \right ]$
6.8. $y=\cfrac{x^{4}}{4}-2x^{3}+1$	$\left [ x_{m}=6 \right ]$
6.9. $y=x^{4}+\cfrac{4}{3}x^{3}-4x^{2}-1$	$\left [\left x_{m}=-2;x_{m}=1;x_{M}=0 \right ]$

Esercizi per un livello discreto

7.1. $y=\cfrac{x^3}{3}-x^{2}+x$	nessun punto di max o min
7.2. $y=\cfrac{x^{3}}{\left ( 1-x \right )^{2}}$	$\left [ x_{m}=3 \right ]$
7.3. $y=\cfrac{1}{x^{2}-4}$	$\left [ x_{M}=0 \right ]$
7.4. $y=\cfrac{x^2-x-1}{x^{2}-x+1}$	$\left [ x_{m}=\cfrac{1}{2} \right ]$
7.5. $y=\cfrac{1}{x^{2}+4}$	$\left ( x_{M}=0 \right )$
7.6. $y=\cfrac{2x^{2}}{x-1}$	$\left [ x_{M}=0;x_{m}=2 \right ]$
7.7. $y=\cfrac{1}{x^{2}-3x+2}$	$\left [ x_{M}=\cfrac{3}{2} \right ]$
7.8. $y=\cfrac{x^{2}-3x+1}{2x^{2}-3x+1}$	$\left [ x_{M}=0;x_{m}=\cfrac{2}{3} \right ]$
7.8. $y=\cfrac{-x^{2}+3x}{2x-8}$	$\left [ x_{m}=2;x_{M}=6 \right ]$
7.9. $y=\cfrac{x-3}{\left ( x-2 \right )^{3}}$	$\left [ x_{M}=\cfrac{7}{2} \right ]$
7.10. $y=\cfrac{x^{3}-3x^{2}+4}{x^{2}}$	$\left [ x_{m}=2 \right ]$

Per un livello buono

8.1. $y=x^{3}e^{x}$	$\left [ x_{m}=-3 \right ]$
8.2. $y=\ln x-x$	$\left [ x_{M}=1 \right ]$
8.3. $y=x\ln x$	$\left [ x_{m}=\cfrac{1}{e} \right ]$
8.4. $y=e^{x}-x$	$\left [ x_{m}=0 \right ]$
8.5. $y=\cfrac{x^{3}}{3}e^{-x}$	$\left [ x_{M}= 0\right ]$
8.6. $y=\cfrac{x^{2}-4}{4\left ( x^{2}-1 \right )}$	$\left [ x_{m}=0 \right ]$

Per un livello quasi ottimo

9.1. $y=2x^{2}\ln x$	$\left [ x_{m}=\cfrac{1}{\sqrt{e}} \right ]$
9.2. $y=\sqrt[3]{x^{2}}-x$	$\left [ x_{m}=0-;x_{M}=\cfrac{8}{27} \right ]$
9.3. $y=\sqrt[3]{x^{5}-x^{2}}$	$\left [ x_{M}=0;x_{m}=\cfrac{2}{3} \right ]$
9.4. $y=\sqrt[3]{\left ( x-1 \right )^{2}}$	$\left [ x_{m}=1 \right ]$
9.5. $y=\sqrt[5]{x^{2}}$	$\left [ x_{m}=0 \right ]$
9.6. $y=\cfrac{3}{2}\sqrt[3]{\left ( 1-2x \right ^{2})}$	$\left [ x_{m}=\cfrac{1}{2} \right ]$

Per muoversi con sicurezza

10.1. $y=e^{\frac{2x^{2}}{x-1}}$	$\left [ x_{M=0};x_{m}=2 \right ]$
10.2. $1+\sqrt[3]{\left ( x+3 \right )^{2}}$	$\left [ x_{m}=-3 \right ]$
10.3. $y=2x\sqrt{x+1}$	$\left [ x_{M}=-1;x_{m}=-\cfrac{2}{3} \right ]$
10.4. $y=\ln \cfrac{x-1}{x+3}$	$\left [ x_{m}=-6;x_{M} =-4\right ]$

Esercizi sui massimi e minimi

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