Periodicità e codominio di una funzione trigonometrica

Per questo post ringrazio un ragazzo del liceo scientifico che mi ha stimolato a scriverlo.

Data la funzione trigonometrica:

y=-2\cdot sin\left (kx+\frac{\pi }{4}\right )-1

determinarne il codominio e la periodicità ed il valore di k affinché abbia periodicità \pi

Per arrivare alla soluzione vi sono diverse strade ma la più stimolante è sicuramente utilizzare le trasformazioni.

So che la funzione:

y= sin(x)

ha periodicità 2\pi e codominio tra [-1 e 1].

Per inciso il codominio di una funzione è l’intervallo aperto o chiuso entro il quale la y assume determinati valori.

Infatti il grafico è:

grafico1

y=sin(x)

Parto da quest’ultima per arrivare a quella di partenza.

Parto da questa:

(1) y'=sin(x')

pongo y^{'}=\frac{y^{''}}{-2} e quindi y_{''}=-2\cdot y^{'} e x^{'}=x^{''}  quindi la (1) diventa:

\frac{y^{''}}{-2}=sin(x^{''}) ossia:

(2) y^{''}=-2\cdot sin(x^{''})

In questo caso il codominio qual è?

y^{'}=-1 \rightarrow y^{''}=-2\cdot y^{'}=2

y^{'}=1 \rightarrow y^{''}=-2\cdot y^{'}=-2

il codominio è tra [-2;2]. Lo si vede anche dal seguente grafico:

grafico3

y”=-2sin(x”)

adesso applico la seguente trasformazione:

y''=y'''+1 \rightarrow y'''=y''-1 lasciando x''=x'''

che permette di avere la (2) trasformata in:

y'''+1=-2sin(x''')

che diventa

(3) y'''=-2sin(x''')-1

il codominio prima era tra [-2;2] quindi diventa:

y'''=y''-1 \rightarrow y'''=-2-1=-3

y'''=y''-1 \rightarrow y'''=2-1=1

ossia il codominio è tra [-3;1] che si vede anche dal grafico:

grafico4

y”’=-2sin(x”’)-1

Adesso applico la trasformazione:

x^{III}=x^{IV}+\cfrac{\pi}{4} e

y^{III}=y^{IV}

quindi la (3) diventa:

(4) y^{IV}=-2\cdot sin\left ( x^{IV}+\frac{\pi}{4} \right )-1

questa trasformazione non cambia la periodicità della mia funzione in quanto sommare o sottrarre una quantità all’argomento del seno fa sì che l’andamento periodico della funzione si sposti in avanti o indietro.

Infatti il grafico della (4) è uguale a quello della (3) solo spostato indietro:

grafico5

la linea blu identifica la curva (3) mentre quella rossa la curva (4) che è uguale solo spostata all’indietro di \cfrac{\pi}{4}.

Ultima trasformazione che va ad influire sul calcolo della periodicità.

x^{IV}=k\cdot x^{V} e y^{IV}=y^{V}

allora la (4) diventa:

(5) y^{V}=-2\cdot sin\left ( kx^{V}+\frac{\pi}{4} \right )-1

la periodicità diventa:

x^{V}=\frac{x^{IV}}{k}\rightarrow x^{V}=\frac{2\pi}{k}.

ossia è \frac{2\pi}{k}.

Se io volessi trovare il valore di k per cui la periodicità sia \pi è sufficiente quindi risolvere questa semplice equazione:

\frac{2\pi}{k}=\pi

che fornisce come soluzione 2!

 

About Francesco Bragadin

Insegno informatica, matematica e fisica. Ho terminato gli studi di ingegneria presso l'Università di Padova nel 1990 e mi occupo di analisi di reti, sviluppo siti web, applicazioni di app nell'ambito matematico.
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