Studio di funzione es – 15 –

15) y=\cfrac{4x}{9-x^{2}}

a) Dominio

Essendo una funzione frazionaria elimino dal dominio le radici del denominatore (soluzioni della realtiva equazione che è presente al denominatore).

9-x^{2}=0

E’ un’equazione di secondo grado di tipo pura per cui non serve applicare la formula risolutiva.

x_{1,2}=\pm\sqrt{9}=\pm3

quindi il dominio è:

D=\left\{ \forall x\epsilon\Re|x\neq\pm3\right\}

Già da questo primo passo posso dire che avrò due asintoti verticali, per studiare bene i limiti, però devo studiare bene il segno della funzione.

b) Segno della funzione

N: 4x>0 che ha soluzione:

x>0

D: 9-x^{2}>0

Una tentazione a cui molti sono soggetti è fare il seguente passaggio:

-x^{2}>-9 da cui:

x^{2}<9 e quindi il passaggio conclusivo

x_{1,2}<\pm3 che afferma che i valori di x, per cui la disequazione iniziale ha significato, devono essere sia minori di 3 che minori di -3: e quindi verrebbe da dire tutte le x più piccole di -3! Si prenda ad esempio -10 ma esso non soddisfa l’equazione di partenza!

Tale procedimento è quindi TOTALMENTE SBAGLIATO.

Si deve sempre passare alla relativa equazione di secondo grado ed una volta trovate le soluzioni (già precedentemente trovate per determinare il dominio) la disequazione di partenza si può scrivere come:

\left(3-x\right)\left(3+x\right)>0

E’ un semplice prodotto di binomio.

Risolvo la prima equazione 3-x>0 che ha per soluzione x<3 e la seconda equazione 3+x>0 con soluzione x>-3.

Adesso unisco le soluzioni trovate al numeratore ed al denominatore e trovo il segno della funzione.

 

c) Asintoti / Limiti

Asintoto orizzontale

\underset{x\rightarrow+\infty}{lim}\cfrac{4x}{9-x^{2}}D.L'H.=\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}\cfrac{4}{-2x}=0.

\underset{x\rightarrow-\infty}{lim}\cfrac{4x}{9-x^{2}}=D.L'H.=\underset{x\rightarrow-\infty}{lim}\cfrac{4}{-2x}=0

Asintoto verticale x=3

\underset{x\rightarrow3^{+}}{lim}\cfrac{4x}{9-x^{2}}=-\infty.

\underset{x\rightarrow3^{-}}{\lim}\cfrac{4x}{9-x^{2}}=+\infty

Asintoto verticale x=-3

\underset{x\rightarrow-3^{+}}{lim}\cfrac{4x}{9-x^{2}}=-\infty.

\underset{x\rightarrow-3^{-}}{lim}\cfrac{4x}{9-x^{2}}=+\infty

C’è asintoto obliquo?

\underset{x\rightarrow\infty}{lim}\cfrac{4x}{9-x^{2}}\cdot\cfrac{1}{x}=D.L'H.=\underset{x\rightarrow\infty}{lim}\cfrac{4}{9-2x}=0

NON c’è asintoto obliquo.

d) Determinazione punti di massimo o di minimo

 

 

Ecco il grafico:

About Francesco Bragadin

Insegno informatica e telecomunicazioni al liceo scienze applicate ed all'indirizzo informatica e telecomunicazioni. Ho terminato gli studi in ingegneria elettronica e telecomunicazioni lavorando per molti anni come libero professionista nell'ambito della gestione storage e disaster recovery su mainframe.
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