Trigonometria: per esercitarsi sulle formule di addizione (problema 2)

Gino Severini

2) Dato un triangolo i cui angoli alpha;beta;gamma seguono le seguenti relazioni:

cosalpha=cfrac{12}{13}

cosbeta=cfrac{4}{5}

dire se tale triangolo è acutangolo o ottusangolo e determinare tangamma.

Sviluppo

Un triangolo si dice acutangolo quando ha tutti e tre gli angoli minori di 90°.

Un triangolo si dice ottusangolo quando un angolo è ottuso ossia maggiore di 90°.

Nel caso specifico cosalpha è positivo per cui 0<alpha<cfrac{pi}{2} non potrà mai essere tra cfrac{3}{2}pi<alpha<2pi perchè la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre 180°.

Lo stesso ragionamento vale per cosbeta.

Quindi 0<alpha;beta<cfrac{pi}{2} e non si può ancora dire se il terzo angolo sia maggiore o minore di 90° condizione che ci fa affermare se avere un acutangolo o un ottusangolo.

Allora, sempre per la relazione fondamentale che la somma degli angoli interni di un triangolo è 180°, gamma=pi-(alpha+beta).

(1) tanleft[pi-(alpha+beta)right]=-tanleft(alpha+betaright)=cfrac{sinalphacosbeta+sinbetacosalpha}{sinalphasinbeta-cosalphacosbeta}

Adesso ho:

(2) sinalpha=pmsqrt{1-left(cfrac{12}{13}right)^{2}}=pmsqrt{1-cfrac{144}{169}}=pmcfrac{5}{13}

prendo il valore positivo in quanto 0<alpha<cfrac{pi}{2}.

(3) sinbeta=pmsqrt{1-left(cfrac{4}{5}right)^{2}}=pmsqrt{1-cfrac{16}{25}}=pmcfrac{3}{5}

prendo il valore positivo in quanto 0<beta<cfrac{pi}{2}.

Adesso sostituisco i valori dati dal problema e la (2) e la (3) nella (1) e risulta:

tangamma=cfrac{cfrac{5}{13}cdotcfrac{4}{5}+cfrac{3}{5}cdotcfrac{12}{13}}{cfrac{5}{13}cdotcfrac{3}{5}-cfrac{12}{13}cdotcfrac{4}{5}}=-cfrac{56}{33}

La tangente assume un valore negativo tra cfrac{pi}{2}<gamma<cfrac{3}{2}pi

per cui alla fine mi troverò un ottusangolo!

 

 

About Francesco Bragadin

Insegno informatica, matematica e fisica. Ho terminato gli studi di ingegneria presso l'Università di Padova nel 1990 e mi occupo di analisi di reti, sviluppo siti web, applicazioni di app nell'ambito matematico.
This entry was posted in Uncategorized. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *