Derivata del quoziente di funzione e di funzione di funzione

Pierre Auguste Renoir

Datay=\cfrac{f(x)}{g(x)}

allora la sua derivata prima è:

(1) y'=\cfrac{f'(x)g(x)-g'(x)f(x)}{\left[g(x)\right]^{2}}

La derivata di funzione di funzione  è molto usata; la formula generica è complessa ma la sua applicazione è immediata:

Data:

y=f(g(x))

allora

(2) y'=g'(x)f'(g(x))

Ecco un esempio per l’applicazione della (1); sia data la funzione

y=\cfrac{3x+1}{x+2}

allora per applicare la (1) si pensi che

f(x)=3x+1

f'(x)=3

g(x)=x+2

g'(x)=1

Si applica la (1) in maniera pedissequa e risulta:

y'=\cfrac{3\cdot(x+2)-1\cdot(3x+1)}{(x+2)^{2}}=\cfrac{3x+6-3x-1}{(x+2)^{2}}=\cfrac{5}{(x+2)^{2}}

Un esempio per l’applicazione della formula (2) per il calcolo della derivata di funzione di funzione è il seguente:

y=(7x+4)^{3}

in letteratura si vi sono varie strade per fornire una spiegazione quella che percorro è la seguente:

pongo 7x+4=t

t'=7

y=t^{3} la sua derivata prima è:

y'=3\cdot t^{2}\cdot t'

e quindi riunendo i vari pezzi la conclusione è:

y'=3\cdot(7x+4)^{2}\cdot 7=21\cdot(7x+4)^{2}

About Francesco Bragadin

Insegno informatica, matematica e fisica. Ho terminato gli studi di ingegneria presso l'Università di Padova nel 1990 e mi occupo di analisi di reti, sviluppo siti web, applicazioni di app nell'ambito matematico.
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