Derivata del quoziente di funzione e di funzione di funzione

Pierre Auguste Renoir

Data $y=\cfrac{f(x)}{g(x)}$

allora la sua derivata prima è:

(1) $y'=\cfrac{f'(x)g(x)-g'(x)f(x)}{\left[g(x)\right]^{2}}$

La derivata di funzione di funzione è molto usata; la formula generica è complessa ma la sua applicazione è immediata:

Data:

$y=f(g(x))$

allora

(2) $y'=g'(x)f'(g(x))$

Ecco un esempio per l’applicazione della (1); sia data la funzione

$y=\cfrac{3x+1}{x+2}$

allora per applicare la (1) si pensi che

$f(x)=3x+1$

$f'(x)=3$

$g(x)=x+2$

$g'(x)=1$

Si applica la (1) in maniera pedissequa e risulta:

$y'=\cfrac{3\cdot(x+2)-1\cdot(3x+1)}{(x+2)^{2}}=\cfrac{3x+6-3x-1}{(x+2)^{2}}=\cfrac{5}{(x+2)^{2}}$

Un esempio per l’applicazione della formula (2) per il calcolo della derivata di funzione di funzione è il seguente:

$y=(7x+4)^{3}$

in letteratura si vi sono varie strade per fornire una spiegazione quella che percorro è la seguente:

pongo $7x+4=t$

$t'=7$

$y=t^{3}$ la sua derivata prima è:

$y'=3\cdot t^{2}\cdot t'$

e quindi riunendo i vari pezzi la conclusione è:

$y'=3\cdot(7x+4)^{2}\cdot 7=21\cdot(7x+4)^{2}$

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