Ellisse: formula di sdoppiamento

Salvador Dalì - "Smaterializzazione del naso di Nerone", 1947

La formula di sdoppiamento viene utilizzata per:

DETERMINARE LA RETTA TANGENTE AD UN'ELLISSE IN UN PUNTO CHE APPARTIENE ALL'ELLISSE STESSA

Eccola:

\cfrac{xx_{0}}{a^{2}}+\cfrac{yy{_{0}}}{b^{2}}=1

L'equazione dell'ellisse è:

(1) \cfrac{x^{2}}{a^{2}}+\cfrac{y^{2}}{b^{2}}=1

il punto P(x_{0};y_{0}) appartiene all'ellisse per cui è soddisfatta la seguente identità:

(2) \cfrac{x_{0}^{2}}{a^{2}}+\cfrac{y_{0}^{2}}{b^{2}}=1

Sottraggo la (2) alla (1) e risulta:

(3) \cfrac{x^{2}-x^{2}_{0}}{a^{2}}+\cfrac{y^{2}-y^{2}_{0}}{b^{2}}=0

semplifico e sviluppo i due binomi tra parentesi come la differenza di binomi:

(4) \cfrac{(x-x_{0})(x+x_{0})}{a^{2}}+\cfrac{(y-y_{0})(y+y_{0})}{b^{2}}=0

Considerando adesso che l’equazione della retta passante per il punto P ha equazione:

(5) y-y{_{0}}=m\left ( x-x_{0} \right )

sostituisco la (5) nella (4), quest’ultima diventa:

(6) \cfrac{(x-x_{0})(x+x_{0})}{a^{2}}+\cfrac{m(x-x_{0})(y+y_{0})}{b^{2}}=0

posso dividere il tutto per (x-x_{0})

e la (6) diventa:

(7) \cfrac{(x+x_{0})}{a^{2}}+\cfrac{m(y+y_{0})}{b^{2}}=0

siccome il punto P appartiene a questa curva sostituendo le sue coordinate la (7) diventa:

(8) \cfrac{(x{_{0}}+x_{0})}{a^{2}}+\cfrac{m(y{_{0}}+y_{0})}{b^{2}}=0

sviluppando i monomi si ha:

(9) \cfrac{(2x{_{0}})}{a^{2}}+\cfrac{m(2y{_{0}})}{b^{2}}=0

Risolvendola rispetto all'incognita m ho:

(10) m=-\cfrac{b^{2}x_{0}}{a^{2}y_{0}}

Sostituendo adesso la (10) nell'equazione generica della retta (5) si ha:

(11) y-y_{0}=-\cfrac{b^{2}x_{0}}{a^{2}y_{0}}\cdot \left ( x-x_{0} \right )

(12) (y-y_{0})\cdot a^{2}y_{0} =-b^{2}x_{0}\cdot \left ( x-x_{0} \right )

(13) yy_{0}a^{2}-a^{2}y^{2}_{0}+b^{2}xx_{0}-b^{2}x_{0}^{2}=0 ordinandola

(14) b^{2}xx_{0}+yy_{0}a^{2}-b^{2}x_{0}^{2}-a^{2}y^{2}_{0}=0 e sapendo dalla (3) che:

(15) b^{2}x_{0}^{2}+a^{2}y^{2}_{0}=a^{2}b^{2}

sostuendo la (15) nella (14) si ha:

(16) b^{2}xx_{0}+yy_{0}a^{2}-a^{2}b^{2}=0

adesso dividendo entrambi membri per a^{2}b^{2}

ho proprio la formula che cercavo ossia:

(17) \cfrac{xx_{0}}{a^{2}}+\cfrac{yy{_{0}}}{b^{2}}=1

Info su Francesco Bragadin

Insegno informatica e telecomunicazioni al liceo scienze applicate ed all'indirizzo informatica e telecomunicazioni. Ho terminato gli studi in ingegneria elettronica e telecomunicazioni lavorando per molti anni come libero professionista nell'ambito della gestione storage e disaster recovery su mainframe.
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