Maturità 2019: secondo problema – secondo punto

Siconsideri, tra le armature, un piano perpendicolare all’asse di simmetria.

Su tale piano, sia C la circonferenza avente centro sull’asse e raggio r.

  • Determinare la circuitazione di B lungo C
  • Ricavare che il flusso di E, attraverso la superficie circolare delimitata da C, è dato da:

\phi (E)=\cfrac{2k\pi r^2}{\mu_{0}\epsilon_{0}}\left ( \cfrac{-1}{\sqrt{t^2+a^2}}+\cfrac{1}{a} \right )

  • Calcolare la d.d.p. tra le armature del condensatore.
  • A quale valore tende B al trascorrere del tempo?
  • Giustificare la risposta dal punto di vista fisico

Prerequisiti

  • conoscenza della circuitazione del campo magnetico lungo una circonferenza
  • risolvere integrale di una funzione composta.
  • risolvere limiti

Sviluppo

Primo punto

La circuitazione di B lungo una circonferenza è:

C(B)=2\pi r B

Secondo punto

Per ricavare il flusso di E si applica la definizione di Ampere-Maxwell e si calcola un integrale:

C(B)=2\pi rB=\varepsilon_{0}\mu _{0}\cfrac{d\phi (E)}{dt}

dalla quale:

\phi (E)=\int \cfrac{2\pi rB}{\varepsilon _{0}\mu _{0}}dt

adesso sostituisco il valore di B dato in precedenza e calcolo il valore dell’integrale:

\phi (E)=\cfrac{2k\pi r^2}{\varepsilon _ {0}\mu _{0}}\int \cfrac{t}{\sqrt{\left ( t^2+a^2 \right )^3}}dt

Mi concentro solo sull’integrale:

\int t\cdot \left ( t^2+a^2 \right )^{-\frac{3}{2}}dt=\cfrac{1}{2}\cfrac{\left ( t^2+a^2 \right )^{-\frac{1}{2}}}{-\frac{1}{2}}+c=-\cfrac{1}{\left ( t^2+a^2 \right )}+c

All’inizio il potenziale è nullo ossi V=dE=0 significa che anche il flusso è nullo per cui nell’integrale precedente quando t=0 anche il flusso è nullo per cui:

c=\cfrac{1}{a}

Unendo tutte le relazioni ho alla fine:

\phi (E)=\cfrac{2k\pi r^2}{\mu_{0}\epsilon_{0}}\left ( \cfrac{-1}{\sqrt{t^2+a^2}}+\cfrac{1}{a} \right )

Terzo punto

V=Ed

\phi (E)=ES=E\pi r^2

E=\cfrac{\phi (E)}{\pi r^2}

usando la definizione precedente di flusso la differenza di potenziale diventa:

V=\cfrac{2kd}{\mu_{0}\epsilon_{0}}\left ( \cfrac{-1}{\sqrt{t^2+a^2}}+\cfrac{1}{a} \right )

Quarto punto

Devo saper sviluppare il limite:

\underset{x\rightarrow+\infty}{lim}\cfrac{t}{\sqrt{\left ( t^2+a^2 \right )^{3}}}=D.H.=\underset{x\rightarrow+\infty}{lim}\cfrac{2}{3\sqrt{t^2+a^2}}=0

quindi il campo magnetico con t che tende ad infinito tende ad annullarsi.

Quinto punto

Con il passare del tempo si nota che la tensione ai capi del condensatore tende ad un valore costante come pure il campo elettrico per cui non si ha più una variazione di flusso e quindi il campo magnetico scompare.

About Francesco Bragadin

Insegno informatica e telecomunicazioni al liceo scienze applicate ed all'indirizzo informatica e telecomunicazioni. Ho terminato gli studi in ingegneria elettronica e telecomunicazioni lavorando per molti anni come libero professionista nell'ambito della gestione storage e disaster recovery su mainframe.
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