Maturità 2019: primo problema – secondo punto

Si assuma,d’ora in avanti, di avere a = 1 e b = −1.

  • Studiare le due funzioni così ottenute
  • verificando che il grafico di g ammette un centro di simmetria
  • i grafici di f e g sono tangenti nel punto B(0,−1)
  • determinare inoltre l’area della regione piana S delimitata dai grafici delle funzioni f e g.

Prerequisiti

  • saper fare lo studio di funzione
  • ricordare la condizione per il centro di simmetria di una curva
  • risolvere un sistema uguagliando al parte esponenziale con la parte non esponenziale
  • saper calcolare un integrale definito: area racchiusa tra due curve

Sviluppo

Primo punto

Parto con la f che è una semplice parabola.

Le intersezione con l’asse y ossia ponendo x=0 risulta -1.

L’intersezioni con l’asse x ossia ponendo y=0 e risolvendo l’equazione di secondo grado x^2-x-1=0 sono:

x=\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}\simeq 1.6 e

x=\cfrac{1-\sqrt{5}}{2}\simeq -0.6

Con la derivata prima determino il vertice della parabola:

f'(x)=2x-1=0

Il vertice della parabola risulta:

V\left ( \cfrac{1}{2};-\cfrac{5}{4} \right )= V\left ( 0.5; -1.25\right )

è un punto di minimo (basta studiare il segno della derivata prima.

Adesso studio la g.


L’intersezione con l’asse y ossia ponendo x=0 risulta -1.

L’intersezione con l’asse x ossia ponendo y=0 risulta 1.

Studio la derivata prima e di ha dopo alcuni semplici passaggi:

-2x^2+4x-1=0

x_{1}=\cfrac{2+\sqrt{2}}{2}\simeq 1,7

x_{2}=\cfrac{2-\sqrt{2}}{2}\simeq 0,29

Studiando il segno si vede che il primo è il punto di massimo mentre il secondo è il punto di minimo con le seguenti coordinate.

minimo m(0,29;-1.15) e massimo M(1,7;1,16)

La rappresentazione grafica fornisce le seguenti curve:

Secondo punto

Perchè esista un centro di simmetria deve valere la seguente relazione:

\left\{\begin{matrix} x=2a-x'\\  y=2b-y' \end{matrix}\right.

sostituendoli nella g risulta:

2b-y'=(2a-x'-1)e^{2(2a-x')-(2a-x')^2}

e bisogna uguagliarle:

y'=2b-(2a-x'-1)e^{2(2a-x')-(2a-x')^2}=y=(x-1)e^{2x-x^2}

da questa si vede che b=0 e guardando solo i termini che non sono nell’esponente si ha la condizione -2a+1=-1 ossia a=1.

il punto P(1;0) è quello di simmetria. Come si poteva anche vedere dal grafico

Terzo punto

Si deve risolvere il sistema:

\left\{\begin{matrix} y=x^2-x-1\\  y=(x-1)e^{2x-x^2} \end{matrix}\right.

x^2-x-1=(x-1)e^{2x-x^2}

L’esponenziale si deve annullare per cui:

2x-x^2=0 che ha come soluzioni 0 e 2

Anche il polinomi che moltiplica l’esponenziale si deve annullare

x^2-x-1=x-1 che ha come soluzione o e 2.

Quindi si annulla in P(0,-1) e in P'(2;1).

Per verificare la condizione di tangenza si calcola il valore della derivata prima in 0 e deve avere lo stesso valore:

f'(x)=2x-1

f'(0)=-1

g'(x)=(-2x^2+4x-1)e^{2x-x^2}

g'(0)=(-1)e^{0}=-1

ed effettivamente sono tangenti.

Quarto punto

Si deve calcolare l’area della seguente regione di piano:

\int_{0}^{2}(x-1)e^{2x-x^2}-(x^2-x+1)dx

Si deve notare che il primo integrale (x-1) è la derivata a meno di -2 dell’esponente per cui la primitiva risulta:

F(x)=-\cfrac{1}{2}e^{2x-x^2}-\cfrac{x^3}{3}+\cfrac{x^2}{2}+x

F(2)-F(0)=\cfrac{4}{3}.


Über Francesco Bragadin

Insegno informatica e telecomunicazioni al liceo scienze applicate ed all'indirizzo informatica e telecomunicazioni. Ho terminato gli studi in ingegneria elettronica e telecomunicazioni lavorando per molti anni come libero professionista nell'ambito della gestione storage e disaster recovery su mainframe.
Dieser Beitrag wurde unter Senza categoria veröffentlicht. Setze ein Lesezeichen auf den Permalink.

Schreibe einen Kommentar

Deine E-Mail-Adresse wird nicht veröffentlicht. Erforderliche Felder sind mit * markiert.