Maturità 2019: quesito sei

Spiegare la relazione esistente tra la variazione del campo che induce la corrente e il verso della corrente indotta. Calcolare la corrente media che passa nella spira durante i seguenti intervalli di tempo:

Una spira di rame, di resistenza $R=4,0 m\Omega$ racchiude un’area di $30cm^{2}$ ed è immersa in un campo magnetico uniforme, le cui linee di forza sono perpendicolari alla superficie della spira. La component del campo magnetico perpendicolare alla superficie varia nel tempo come indicato in figura.

a: da 0,0 ms a 3,0 ms

b: da 3,0 ms a 5,0 ms

c: da 5,0 ms a 10 ms

Prerequiti

Conoscenza legge di Faraday-Neumann

Sviluppo

$f=-\cfrac{d\Phi (B)}{dt}$

La corrente

$f=Ri$

l’unica cosa che varia nel tempo è il campo indizione magnetico secondo il grafico, la superficie rimane costante per cui si avrà:

$i=-\cfrac{SB'(t)}{R}$

quindi finchè il campo magnetico è negativo si avrà la corrente da un verso appena diventa positivo la corrente avrà verso opposto.

Per calcolare il valore medio della corrente tra i ari intervalli di deve calcolare il valore del campo magnetico in tali intervalli estrapolando i dati.

Intervallo [ms]	Campo magnetico B [mT]
0-3	$B=-\cfrac{2}{90}t^2$
3-5	$B=-\cfrac{2t-8}{10}$
5-10	$B=-\cfrac{-2t+20}{10}$

Le funzioni trovate sono: nel primo tratto una parabola con vertice nell’origine e passante per il punto $\left ( 3;-\cfrac{2}{10} \right )$ negli altri due casi sono delle rette che passano per i punti estratti dal grafico.

Per trovare il valore medio della corrente nei vari intervalli si deve svolgere il seguente integrale:

Intervallo	Integrale
0-3	$i=-\frac{S}{3R}\int_{0}^{3}B'(t)dt=-\cfrac{S}{3R}\left ( B(3)-B(0) \right )$
3-5	$i=-\frac{S}{2R}\int_{3}^{5}B'(t)dt=-\cfrac{S}{2R}\left ( B(5)-B(3) \right )$
5-10	$i=-\frac{S}{5R}\int_{5}^{10}B'(t)dt=-\cfrac{S}{5R}\left ( B(10)-B(5) \right )$