Maturità 2019: terzo quesito

Tra tutti i parallelepipedi rettangoli a base quadrata, con superficie totale di area S, determinare quello per cui la somma delle lunghezze degli spigoli è minima.

Prerequisiti

  • saper sviluppare i problemi di massimo e minimo
  • nozione di base della geometria dei solidi per il calcolo della superficie totale
  • saper calcolare la derivata prima e la relativa disequazione

Sviluppo

Considero x la dimensione della base del mio parallelepipedo, devo esprimere la terza dimensione, che chiamerò a per comodità in funzione di x e dell’altro termine che conosco ossia la superficie totale.

Tutto questo per trovare il min(a+b+c) ma b=c=x per cui risulta:

min(2x+a)

La superfice totale risulta:

S_{t}=2x^{2}+4xa=S

risolvendola tenendo come incognita a:

a=\cfrac{S-2x^2}{4x}

La funzione di cui dovrò calcolare il minimo sarà perciò:

f(x)=2x+\cfrac{S-2x^2}{4x}=\cfrac{6x^2+S}{4x}

facendone la derivata prima si ha:

f'(x)=\cfrac{12x\cdot 4x-4(6x^2+S)}{16x^2}=\cfrac{24x^2-4S}{16x^2}

annullando il numeratore di vede che le soluzioni sono:

x=\pm \sqrt{\cfrac{S}{6}}

ed è positiva per x<-\sqrt{\cfrac{S}{6}} ed x>+\sqrt{\cfrac{S}{6}}

quindi il punto di minimo è x=\sqrt{\cfrac{S}{6}}

da cui si ricavano le tre dimensioni:

b=c=\sqrt{\cfrac{S}{6}}

About Francesco Bragadin

Insegno informatica e telecomunicazioni al liceo scienze applicate ed all'indirizzo informatica e telecomunicazioni. Ho terminato gli studi in ingegneria elettronica e telecomunicazioni lavorando per molti anni come libero professionista nell'ambito della gestione storage e disaster recovery su mainframe.
This entry was posted in Senza categoria. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *