Maturità 2019: secondo quesito

E’ assegnata la funzione:

g(x)=\sum_{n=1}^{1010}x^{2n-1}=x+x^3+x^5+\cdot \cdot \cdot+x^{2019}

Provare che esiste un solo x_{0}\in \mathbb{R} tale che g(x_{0})=0. Determinare inoltre:

\underset{x\rightarrow +\infty}{lim}\cfrac{g(x)}{1.1^{x}}.

Prerequisiti

  • definizione di funzione dispari
  • analisi della crescenza e decrescenza di una funzione dalla sua derivata
  • applicazione di De L’Hospital o la conoscenza degli infinitesimi per lo sviluppo del limiti

Sviluppo

La funzione è una funzione dispari ossia:

f(x)=-f(-x)

infatti:

g(-x)=-x-x^3-x^5-\cdot \cdot \cdot -x^{2019}

e

-g(-x)=+x+x^3+x^5+\cdot \cdot \cdot +x^{2019}

quindi è simmetrica rispetto all’origine.

Inoltre facendo la derivata prima di g(x) si ha:

g'(x)=+1+3x^2+5x^4+\cdot \cdot \cdot +2019x^{2018}

che è la somma di soli termini positivi per cui è sempre positiva e quindi la funzione è sempre crescente.

Simmetrica e sempre crescente esisterà solo un punto che la annulla che sarà poi proprio l’origine.

Anche se il grafico non è richiesto il grafico infatti risulta:

Adesso si passa a calcolare il limite.

Siccome si è nella forma infinito su infinito applico De l’Hospital:

\underset{x\rightarrow +\infty}{lim}\cfrac{g(x)}{1.1^{x}}=\underset{x\rightarrow +\infty}{lim}\cfrac{1+3x^2+5x^4+\cdot \cdot \cdot +2019x^{2018}}{1.1^{x}ln(1.1)}.

Iterando De L’Hospital 2018 volte mi troverò un numero diviso 1.1^{x} e quindi il limite assumerà il valore 0.

\underset{x\rightarrow +\infty}{lim}\cfrac{g(x)}{1.1^{x}}=0.

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