Soluzioni ottimo livello di preparazione sulle derivate e tangenti

18. y=\sqrt{x}+\cfrac[l]{1}{\sqrt{x}}Come nell’esercizio 15) conviene esprimere la funzione precedente come:

y=x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}

adesso procedo con la derivata prima:

y'=\cfrac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}-\cfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}-1}=\cfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}-\cfrac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}

in conclusione:

y'=\cfrac{1}{2\sqrt{x}}-\cfrac{1}{2\sqrt{x^{3}}}

19. y=(x-3)(x-5)(x-2) nel punto P(0;-30)

il primo passo è sviluppare la moltiplicazione tra binomi:

y=x^{3}-10x^{2}+31x-30

il punto P appartiene?

-30=0^{3}-10\cdot0^{2}+31\cdot0-30=-30

il punto P appartiene alla retta.

y'=3x^{2}-20x+31

y'(0)=3\cdot0^{2}-20\cdot0+31=31=m

y=31x+q sostituisco q e risulta:

-30=31\cdot0+q quindi q=-30

La retta tangente risulta

y=31x-30

20. y=-3x^{2}+4x+1 nel punto P(1;1)

il punto P appartiene alla curva?

1=-3\cdot1^{2}+4\cdot1+1=2

il punto P non appartiene alla retta!

Bisogna seguire il seguente procedimento:

Retta passante per il punto P

(y-1)=m(x-1) ordinandola ho y=mx-m+1 metto in sistema il fascio di rette e la curva e poi pongo a zero il determinante.

\begin{cases}  y=-3x^{2}+4x+1\  y=mx-m+1  \end{cases}

utilizzo il metodo del confronto

-3x^{2}+4x+1=mx-m+1

-3x^{2}+4x-mx+m=0

-3x^{2}+x(4-m)+m=0

a=-3

b=4-m

c=m

\Delta=b^{2}-4ac=(4-m)^{2}-4(-3)(m)=16-8m+m^{2}+12m=0

m^{2}+3m+16=0

m_{1,2}=\cfrac{-3\pm\sqrt{9-16}}{2}

il discriminante è più piccolo di zero e ciò significa che non esiste alcuna retta passante per P e tangente alla curva.

[testo di partenza]

About Francesco Bragadin

Insegno informatica, matematica e fisica. Ho terminato gli studi di ingegneria presso l'Università di Padova nel 1990 e mi occupo di analisi di reti, sviluppo siti web, applicazioni di app nell'ambito matematico.
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