TPSIT – Fisica – Scarica di un condensatore

Dopo aver caricato un condensatore per mezzo di un generatore, si disinserisce il generatore. Il condensatore si scarica sulla resistenza R, dando origine per un intervallo di tempo, la cui durata dipende dai valori di R e C inseriti nel circuito, a una corrente d’intensità i variabile nel tempo. Contemporaneamente la carica sulle armature e la d.d.p. tra le stesse, diminuiscono dai valori massimi iniziali, Cf ed f rispettivamente, a zero.

In questo caso l’equazione del circuito risulta:

\cfrac{q}{C}=Ri

ed i=-\cfrac{\delta q}{\delta t}, il segno è negativo in quanto la carica del condensatore tende a diminuire;

per cui l’equazione differenziale diventa:

\cfrac{q}{C}=-R\cfrac{\delta q}{\delta t}

q'=-\cfrac{q}{RC}

applicando il metodo della separazione delle variabili si ha:

\cfrac{dq}{q}=-\cfrac{1}{RC}dt

integrando da entrambi i membri si ha:

\int \cfrac{dq}{q}=\int -\cfrac{1}{RC}dt

\ln q=-\cfrac{1}{RC}t+c

passando dal logaritmo all’esponenziale si ha:

q=ce^{-\frac{1}{RC}}

per calcolare la costante si si che quando tolgo il generatore di tensione la carica sulle armature del condensatore vale: Cf.

Per cui c=Cf.

q=Cfe^{-\frac{1}{RC}} (1)

sapendo sempre che q=CV la relazione precedente diventa:

V=fe^{-\frac{t}{\tau }}

inoltre derivando la (1) mi trovo la corrente che risulta:

i=\cfrac{f}{R}e^{-\frac{t}{\tau }}.

Conclusione

Tutte le grndezze q,V ed i, decrescono esponenzialmente col tempo. In pratica dopo un tempo \tau =RC sono pressoché nulle!

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