TPSIT – Fisica- Carica di un condensatore

Collegando un condensatore di capacità C, inizialmente scarico, attraverso una resistenza R ai poli di una batteria (corrente continua) di f.e.m f, la carica q sulle armature, tende a raggiungere il valore nominale fC.

Tenendo conto che tra le armature del condensatore c’è una caduta i tensione q/C, si ha:

$f-\cfrac{q}{C}=Ri$

sapendo che:

$i=\cfrac{\delta q}{\delta t}$

si deve risolvere la seguente equazione differenziale:

$f-\cfrac{q}{C}=R\cfrac{\delta q}{\delta t}$

è un’equazione differenziale lineare completa che si può risolvere mediante il metodo di Lagrange ossia data:

$y'+a(x)y=b(x)$

essa ha soluzione generica:

$y=e^{-\int a(x)dx}\cdot\left [ \int b(x)e^{\int a(x))dx}+c \right ]$

applicandola alle variabili in gioco si ha:

$q'+\cfrac{1}{RC}q=\cfrac{f}{R}$

dove $a(t)=\cfrac{1}{RC}$ e $b(t)=\cfrac{f}{R}$

applicando la soluzione generica si ha:

$q=e^{-\int \frac{1}{RC}dt}\cdot \left [ \int \frac{f}{R}e^{\int \frac{1}{RC}dt}+c \right ]$

$q=e^{-\frac{1}{RC}t}\cdot \left [ \int \frac{f}{R}e^{\frac{1}{RC}t}+c \right ]=e^{-\frac{1}{RC}t}\cdot\left [ \frac{f}{R}\cdot RC e^{\frac{1}{RC}t}+c \right ]$