(Italiano) Prova di matematica maturità 2016

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(Italiano) INVALSI Secondaria di II grado 2015-2016 e soluzioni

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(Italiano) INVALSI

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(Italiano) Esercizi sulla moda, media, mediana

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(Italiano) Soluzioni esercizi sull'ellisse

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Ellisse: esercizi per livelli

Jim Warren

Jim Warren

Ricapitolando.

Un'ellisse è caratterizzata dai sui vertici, dalle coordinate dei fuochi, dall'eccentricità.

Per poterla disegnare si annulla prima la x e si trovano le intersezioni con l'asse y e viceversa.

Rappresentare graficamente le seguenti ellissi, dopo aver determinato, di ciascuna di esse, le coordinate dei vertici, quelle dei fuochi e l'eccentricità.

Esercizi per un livello sufficiente (6):

6.1. \cfrac{x^2}{4}+y^2=1
6.2. \cfrac{x^2}{9}+\cfrac{y^2}{4}=1
6.3. x^2+\cfrac{y^2}{9}=1
6.4. \cfrac{x^2}{9}+\cfrac{y^2}{4}=1

Esercizi per un livello discreto (7):

7.1. x^2+4y^2=1
7.2. x^2+4y^2=4
7.3. 4x^2+9y^2=1

Esercizi per un buon livello (8)

 8.1. 4x^2+9y^2=25
8.2. 9x^2+36y^2=25
8.3. 4x^2+\cfrac{y^2}{4}=\cfrac{1}{4}
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Statistica descrittiva: variabilità (range, varianza, deviazione standard)

Rafel Olbinski

Rafel Olbinski

In assenza di variabilità, in una popolazione, la statistica non sarebbe necessaria: un singolo elemento o unità campionaria sarebbe sufficiente a determinare tutto ciò che occorre sapere su una popolazione.

Ne consegue, perciò, che nel presentare informazioni su un campione non è sufficiente fornire semplicemente una misura della media ma servono informazioni sulla variabilità.

Si considera la seguente tabella che mostra l'età di due gruppi

Soggetto I gruppo II gruppo
1 20 10
2 30 25
3 40 40
4 50 55
5 60 70
media 40 40

Si può subito notare che la media mi fornisce lo stesso valore, ma se suppongo di avere un ristorante e devo preparare dei menù, sapendo che hanno la stessa età media i due gruppi allora lo preparo uguale.

Sarebbe un grave errore se non prendessi in considerazione la variabilità. Infatti se nel primo gruppo potrebbe andare bene un menù per adulti nel secondo vi è un bambino a cui magari si dovrebbe adattarlo.

Allora si introducono tre misure di variabilità:

  • campo di variazione
  • varianza
  • deviazione standard

Il campo di variazione corrisponde alla differenza fra il valore più piccolo e quello più grande:

R=x_{max}-x_{min}

Il limite di tale valore è:

  • è influenzato dai valori estremi
  • tiene conto dei due soli valori estremi, trascurando tutti gli altri.

La varianza è data dalla somma dei quadrati degli scarti dalla media diviso per il numero degli elementi.

\sigma ^{2}=\cfrac{\sum_{i=1}^{N}\left ( x_{i}-\bar{x} \right )^{2}}{N}

mentre  la deviazione standard è la radice quadrata della varianza ossia:

\sigma=\sqrt{\cfrac{\sum_{i=1}^{N}\left ( x_{i}-\bar{x} \right )^{2}}{N}}

La varianza mi fornisce un indice di dispersione dei dati rispetto alla media ed ha il vantaggio che, essendo un quadrato, non è influenzata da dati negativi che sommandosi si annullerebbero.

Lo svantaggio è che essendo un quadrato non presenta la stessa unità di misura dei dati per cui si preferisce sempre la sua radice quadrata che è appunto la deviazione standard.

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Esercizi sulle probabilità

Thomas Barbey

Thomas Barbey

Tutti questi problemi richiedono come conoscenza il concetto di probabilità come rapporto tra eventi favorevoli ed eventi probabili.

Per poterli risolvere bisogna prima sapere quanti sono gli eventi che si possono verificare, ad esempio il numero di palline all'interno di un cesto, il numero di studenti di una classe e poi contare quanti sono gli eventi che vogliamo sapere che possano accadere.

Ad esempio sapere qual è la probabilità che da un cesto di 100 palline possa estrarne 1 bianca sapendo che ve ne sono 40 di questo colore e le rimanenti di un altro, è un semplice rapporto ossia P(pallina bianca)=\cfrac{40}{100}

Esercizi per un livello base (6)

6.1. Lanciando due monete qual è la probabilità di ottenere due teste?  \left [ \cfrac{1}{4} \right ]
6.2. Vinco 1€ se nel lancio di un dado esce un numero superiore a 4. Quale probabilità ho di vincere?  \left [ \cfrac{1}{3} \right ]
6.3.  Si lanciano due dadi. Trova la probabilità che escano due 3; che escano un 3 e un 4; che escano due numeri pari. \left [ \cfrac{1}{36};\cfrac{1}{18}; \cfrac{1}{4};\right ]
6.4. Un'urna contiene 100 palline numerate da 1 a 100. Calcola la probabilità che una pallina estratta rechi un numero pari; un numero divisibile per 5; un numero divisibile per 6. \left [ \cfrac{1}{2};\cfrac{1}{5}; \cfrac{1}{25};\right ]
6.5. Calcola qual è la probabilità di estrarre da un'urna contenente 5 palline bianche, 8 nere, 10 rosse, 12 verdi, una pallina bianca; una pallina nera; una pallina rossa; una pallina verde; una pallina o bianca o nera; una pallina o bianca o verde. \left [ \cfrac{1}{7};\cfrac{8}{35};\cfrac{2}{7};\cfrac{12}{35};\cfrac{13}{35};\cfrac{17}{35} \right ]
6.6. Calcola la probabilità che lanciando una moneta esca testa. \left [ \cfrac{1}{2} \right ]
6.7. Calcola la probabilità che lanciando 1 dado esca il numero 1. \left [ \cfrac{1}{6} \right ]
6.8. Calcola la probabilità che lanciando 1 dado esca un numero divisibile per 2. \left [ \cfrac{1}{2} \right ]
6.9. Calcola la probabilità che lanciando 1 dado esca un numero multiplo di 3. \left [ \cfrac{1}{3} \right ]

Esercizi più complessi (7):

 Da un'urna contenente 9 palline nere e 7 bianche si estraggono successivamente 3 palline, rimettendo ogni volta nell'urna la pallina estratta. Qual è la probabilità ceh siano tutte e 3 nere? Che siano tutte e tre bianche? Che siano le prime 2 bianche e la terza nera? Che siano 2 bianche e 1 nera?  \left [ \left ( \cfrac{9}{16} \right )^{3}; \left ( \cfrac{7}{16} \right )^{3}; \left ( \cfrac{7}{16} \right )^{2}\cdot \cfrac{9}{16};3\cdot  \left ( \cfrac{7}{16} \right )^{2}\cdot \cfrac{9}{16} \right ]
Si gettano in aria 2 monete. Qual è la probabilità che diano entrambe testa? Una sola testa? Almeno una testa? \left [ \cfrac{1}{4};\cfrac{1}{2};\cfrac{3}{4} \right ]
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Serena Pasqua 2016

Renè Magritte

Renè Magritte

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Ellisse

Joel Rea

Joel Rea

L'ellisse è quel luogo dei punti del piano per cui è costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi.

L'ellisse rappresenta ad esempio il percorso dei pianeti attorno al Sole, la forma stessa della Terra è ellittica, un uovo è ellittico, lo stesso cerchione di un pneumatico se non perfettamente rotondo viene rappresentato da un'ellisse.

Come nelle precedenti forme geometriche anche l'ellisse ha un'equazione che la rappresenta.

\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}=1

Se due fuochi dell'ellisse hanno coordinate:

F_{1}(-c,0),F_{2}(c,0)

allora a>b e l'ellisse ha questa rappresentazione grafica

ellisse1

Se invece i due fuochi delle ellisse hanno coordinate:

F_{1}(0,-c),F_{2}(0,c)

allora b>a

e l'ellisse ha questa rappresentazione grafica:

ellisse2ma la a e la b cosa rappresentano?

Danno la lunghezza dei semiassi dell'ellisse.

In pratica l'ellisse è racchiusa in un rettangolo i cui lati sono 2a e 2b.

Ossia si ha una figura del genere:

ellisse3ma cosa differisce un'ellisse da una circonferenza?

Dall'eccentricità ossi di quanto essa è schiacciata rispetto o l'asse x o l'asse y.

in pratica l'eccentricità è un rapporto tra la coordinata dei fuochi e l'asse maggiore dell'ellisse.

e=\cfrac{c}{\begin{matrix} asse &magggiore \end{matrix}}

Nel caso della circonferenza a=b per cui c=0 ed, infatti, l'eccentricità è nulla.

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